Modèle à générations imbriquées

On attribue généralement le modèle à générations imbriquées à Maurice Allais avec la publication en 1947 de son ouvrage Économie et Intérêt[3] et à Paul Samuelson avec la publication de son article « An exact consumption-loan model of interest with or without the social contrivance of money » en 1958[4].

Peter Diamond est le premier à avoir montré que dans ce type de modèle, l'équilibre pouvait être inefficace[5]. Le modèle à générations imbriquées constitue en effet une situation où dans un cas de concurrence parfaite et sans externalité économique le premier théorème de l'économie du bien-être selon lequel l'équilibre de marché est aussi un optimum de Pareto n'est pas systématiquement vérifié[6].

Victor Ginsburgh voit dans Le Mouton noir, publié par l'écrivain Italo Calvino en 1944, une version littéraire de ce modèle[1] - [7].

Le modèle admet deux types de consommateur, il y a d'une part les jeunes et d'autre part les vieux. En t naissent ${\displaystyle N_{t}}$ jeunes. Ces derniers offrent leur force de travail en échange d'une rémunération ${\displaystyle w_{t}}$ . Au même moment cohabitent avec les jeunes des vieux en quantité${\displaystyle N_{t-1}}$ qui détiennent le capital d'aujourd'hui ${\displaystyle K_{t}}$ et le louent à la firme de façon à s'assurer un revenu de ${\displaystyle (r_{t}+\delta )K_{t}}$, où ${\displaystyle (r_{t}+\delta )}$ est le taux d'intérêt à la date t augmenté du taux de dépréciation du capital. L'apport de travail du jeune et de capital du vieux permet à la firme de produire un bien homogène en quantité ${\displaystyle Y_{t}}$. Ce bien est d'une part vendu aux jeunes qui en consomment ${\displaystyle N_{t}(c_{t})}$ et aux vieux qui en consomment ${\displaystyle N_{t-1}(d_{t})}$. Mais l'équation d'équilibre sur le marché des biens n'est pas complète. On a en effet ${\displaystyle Y_{t}=N_{t-1}(d_{t})+N_{t}(c_{t})+I_{t}}$ où ${\displaystyle I_{t}}$ désigne l'investissement. L'idée est que la firme vend aux jeunes non seulement la quantité de biens qu'ils consomment mais également l'investissement qui leur permettra d'être les capitalistes de demain. En fait, l'une des clés qui permet la compréhension du modèle est de se souvenir qu'une période est longue (environ trente ans). Le jeune reçoit son salaire qu'il utilise pour consommer et épargner. C'est en fait comme si chaque mois il achète deux quantités de biens distinct à la firme. Une partie est immédiatement consommée et une partie est mise de côté et accumulée durant la première partie de sa vie. L'une des utilisations de l'épargne est donc l'achat d'un bien qu'il investit. L'autre utilisation de l'épargne vient du fait que les vieux, avant leur mort, vont chercher à se débarrasser du capital non déprécié qui leur permettait de recevoir une rémunération mais qui leur sera d'aucune utilité dans leur tombe. Ils vont donc vendre le capital non déprécié aux jeunes. Finalement l'épargne leur sert à acheter de l'investissement à la firme et le capital non déprécié aux vieux juste avant leur mort. On obtient donc:${\displaystyle (s_{t})N_{t}=K_{t+1}}$ ainsi que ${\displaystyle K_{t+1}=I_{t}+(1-\delta )K_{t}}$ où ${\displaystyle s_{t}}$ désigne l'épargne par tête. Immédiatement après la mort des vieux, les jeunes deviennent vieux à leur tour et disposent de la totalité du capital de l'économie . C'est alors qu'ils reçoivent la rémunération de leur épargne qu'ils utilisent entièrement pour consommer ou en d'autres termes, la contrainte budgétaire de la deuxième période est saturée. ${\displaystyle (1+r_{t+1})(s_{t})N_{t}=(d_{t+1})N_{t}}$ Cette rémunération (partie gauche de l'égalité) est venue en deux étapes. Les nouveaux vieux sont désormais propriétaires du capital de la période t+1. Ils vont alors le louer aux firmes pour lui permettre de produire le bien de la période t+1. Cette location va alors leur assurer un revenu de ${\displaystyle (r_{t+1}+\delta )K_{t+1}}$. Avant de mourir, ils vont revendre la partie non dépréciée du capital aux jeunes de t+1 qui seront les vieux de t+2, ce qui va leur assurer une rémunération de ${\displaystyle (1-\delta )K_{t+1}}$. Toute leur rémunération est consacrée à la consommation, il ne lèguent rien à leurs descendants (pas d'altruisme entre les générations comme dans le Modèle de Ramsey).
Remarque: Le coût de location du capital est ${\displaystyle (r+\delta )}$ parce qu'il s'agit du prix d'équilibre qui rend la firme indifférente entre l'achat et la location du capital. En effet soit z le coût de location du capital. On a la condition d'équilibre suivante ${\displaystyle (z/1+r)K=K-((1-\delta )/(1+r))K}$ ce qui implique ${\displaystyle z=r+\delta }$.

• Maurice Allais, Économie et Intérêt, Paris, Imprimerie nationale, 1947, Appendice A4 pages 640-755.
• Paul Samuelson, « An exact consumption-loan model of interest with or without the social contrivance of money », Journal of Political Economy, 66, p. 467-482, 1958
• Peter Diamond, « National debt in a neoclassical growth model », American Economic Review, 55, p. 1126-1150, 1965
• Robert Barro, « Are government bonds net wealth ? », Journal of Political Economy 82, p. 1095-1117, 1974.
• Robert Solow, "Overlapping Generations." in Samuelsonian Economics and the Twenty-First Century, 2006, ed. Michael Szenberg, Lall Ramrattan et Aron A. Gottesman, 35–41. Oxford, UK: Oxford University Press.
• (en) Philippe Weil, « Overlapping Generations:The First Jubilee », The Journal of Economic Perspectives, vol. 22, n^o 4,‎ 2008, p. 115–134 (lire en ligne)
• Victor Ginsburgh « Où il est question d'Italo Calvino, de tulipes, de mariages et de quelques autres », Revue économique 4/2011 (Vol. 62), p. 765-772, lire en ligne.