Matrice de Jacobi

Les matrices de Jacobi de taille finie sont de la forme

${\displaystyle J=\left[{\begin{array}{ccccc}b_{0}&a_{0}&&&\\a_{0}&b_{1}&a_{1}&&\\&a_{1}&\ddots &\ddots &\\&&\ddots &\ddots &a_{n-1}\\&&&a_{n-1}&b_{n}\end{array}}\right],}$

avec ${\displaystyle a_{n}\neq 0,\quad b_{n}\in \mathbb {R} .}$

On montre que ${\displaystyle \lambda }$ est une valeur propre de la matrice ${\displaystyle J}$ si et seulement si

${\displaystyle \lambda -b_{0}-{\cfrac {a_{0}^{2}}{\lambda -b_{1}-{\cfrac {a_{1}^{2}}{\lambda -b_{2}-\cdots {\cfrac {a_{n-1}^{2}}{\lambda -b_{n}}}}}}}=0.}$

Si l'on réduit la fraction continue en une fraction rationnelle, le numérateur sera le polynôme caractéristique ${\displaystyle \chi _{n+1}(\lambda )}$ de la matrice ${\displaystyle J}$.

Considérons deux suites ${\displaystyle (a_{n})}$ et ${\displaystyle (b_{n})}$, toujours avec ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$ et ${\displaystyle b_{n}\in \mathbb {R} }$. L'opérateur de Jacobi ${\displaystyle J}$ associé est défini sur un espace de suites ${\displaystyle (u_{n})}$ par

${\displaystyle (Ju)_{0}=b_{0}u_{0}+a_{0}u_{1},\quad (Ju)_{n}=a_{n-1}u_{n-1}+b_{n}u_{n}+a_{n}u_{n+1},\quad n>0.}$

Les opérateurs de Jacobi sont liés à la théorie des polynômes orthogonaux. En effet, si l'on note ${\displaystyle P(x)=(P_{0}(x),P_{1}(x),P_{2}(x),...)}$ avec ${\displaystyle P_{0}(x)=1}$ la solution de

${\displaystyle JP(x)=xP(x)}$,

alors ${\displaystyle P_{n}(x)}$ est un polynôme de degré ${\displaystyle n}$. Ces polynômes vérifient la relation de récurrence d'ordre 2 :

${\displaystyle a_{n-1}P_{n-1}(x)+b_{n}P_{n}(x)+a_{n}P_{n+1}(x)=xP_{n}(x)}$

pour tout ${\displaystyle n\geq 0}$, si l'on pose ${\displaystyle P_{-1}(x)=0}$ et ${\displaystyle P_{0}(x)=1}$. Ces polynômes sont orthogonaux par rapport à une certaine mesure.

Par exemple, avec ${\displaystyle (a_{n})=(-1,-2,-3,...,-n,...)}$ et ${\displaystyle (b_{n})=(1,3,5,...,2n+1,...)}$, les polynômes ${\displaystyle P_{n}(x)}$ sont les polynômes de Laguerre.

Avec ${\displaystyle (a_{n})=(1/2,1/2,1/2,...)}$ et ${\displaystyle (b_{n})=(0,0,0,...)}$, les polynômes ${\displaystyle P_{n}(x)}$ sont les polynômes de Tchebychev de seconde espèce.

• Jean Dieudonné, « Fractions continuées et polynômes orthogonaux », dans E.N. Laguerre, Polynômes orthogonaux et applications, Springer, 1985 (lire en ligne), p. 1-15