Matrice centrosymétrique

• Tous les matrices 2 x 2 centrosymétriques ont la forme

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\b&a\end{bmatrix}}.}$

• Tous les matrices 3 × 3 centrosymétriques ont la forme

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&d\\c&b&a\end{bmatrix}}.}$

• Les Matrices de Toeplitz symétriques sont centrosymétriques.

• Si A et B sont des matrices centrosymétriques sur une donnée corps K, puis sont donc A + B et cA pour tout c dans K. En outre, le produit de la matrice AB est centrosymétrique, puisque JAB = AJB = ABJ. Étant donné que la matrice identité est également centrosymétrique, il en résulte que l'ensemble de n × n matrices centrosymétriques sur K est une sous-algèbre de l'algèbre associative de toutes les n × n matrices.
• Si A est une matrice centrosymétrique avec une base propre dimensionnelle m, alors ses vecteurs propres m peuvent chacun être choisis de manière à satisfaire soit x = Jx soit x = -Jx.
• Si A est une matrice centrosymétrique avec des valeurs propres distinctes, alors les matrices qui commutent avec A doivent être centrosymétriques[1].

La relation centrosymétrique AJ = JA se prête à une généralisation naturelle, où J est remplacée par une matrice involutive K (i.e., K² = I)[2] - [3]. Le problème inverse de la relation de commutation AK = KA, d'identifier tous les involutive K qui commutent avec une matrice fixe A, a également été étudié[1].

Symmetric matrices centrosymétriques sont parfois appelées matrices bisymétriques (en). Lorsque le corps de base est le réels, il a été démontré que les matrices bisymétriques sont précisément ces matrices symétriques dont les valeurs propres sont identiques au signe après pré ou post multiplication par la matrice J[3]. Un résultat similaire est valable pour les matrices hermitiennes centrosymétriques et l' inclinaison centrosymétriques[4].