M-matrice

En mathématiques, une M-matrice est une matrice carrée réelle qui est à la fois une P-matrice et une Z-matrice, ce qui signifie que tous ses mineurs principaux sont strictement positifs et que ses éléments extra-diagonaux sont négatifs. D'autres caractérisations peuvent être utilisées, dont certaines sont données ci-dessous.

Ces matrices interviennent dans l'étude des problèmes de complémentarité linéaire et dans certaines discrétisations d'opérateurs différentiels, en particulier ceux obéissant à un principe du maximum, comme le laplacien.

Cette classe de matrices semble avoir été introduite par Alexander Ostrowski en référence à Hermann Minkowski[1].

Définitions

La notion de M-matrice peut se définir de différentes manières, bien sûr équivalentes. On utilise ci-dessous les notions de Z-matrice, de P-matrice et de S-matrice.

M-matrice — On dit qu'une matrice carrée réelle $M\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ est une M-matrice si c'est une Z-matrice et si l'une des propriétés équivalentes suivantes est vérifiée, équivalentes sous l'hypothèse que $M\in \mathbf {Z}$ :

$M\in \mathbf {P}$ ,
$M\in \mathbf {S}$ ,
$M$ est inversible et $M^{-1}\geqslant 0$ (tous les éléments de son inverse sont positifs),
toutes les valeurs propres de $M$ ont une partie réelle strictement positive.

On note M l'ensemble des M-matrices d'ordre quelconque. On appelle M-matricité la propriété d'une matrice d'appartenir à M.

Propriétés

Algèbre linéaire

Les facteurs LU d'une M-matrice existent et peuvent être calculés de manière stable, sans pivotage. Cette propriété a également lieu pour la factorisation LU incomplète.

Complémentarité linéaire

Un problème de complémentarité linéaire consiste à trouver un vecteur $x\geqslant 0,$ tel que $Mx+q\geqslant 0$ et $x^{\!\top \!}(Mx+q)=0.$ Dans cette définition, $M\in \mathbb {R} ^{n\times n},$ $q\in \mathbb {R} ^{n},$ $x^{\!\top \!}$ est le transposé de $x$ et les inégalités doivent se comprendre composante par composante. Ce problème est parfois noté de manière compacte comme suit

${\mbox{CL}}(M,q)\qquad 0\leqslant x\perp (Mx+q)\geqslant 0.$

L'ensemble admissible de ce problème est noté

${\mbox{Adm}}(M,q):=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:x\geqslant 0,~Mx+q\geqslant 0\}.$

L'importance des M-matrices dans les problèmes de complémentarité linéaire provient du résultat suivant.

M-matrice et problème de complémentarité linéaire — Pour une matrice $M\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ , les propriétés suivantes sont équivalentes :

$M\in \mathbf {M}$ ,
pour tout $q$ , $\operatorname {Adm} (M,q)$ contient un minimum (pour l'ordre $\leqslant$ de $\mathbb {R} ^{n}$ ) qui est l'unique solution de $\operatorname {CL} (M,q)$ ,
pour tous vecteurs $q^{1}\leqslant q^{2}$ , les solutions ${\bar {x}}^{i}$ de $\operatorname {CL} (M,q^{i})$ vérifient ${\bar {x}}^{1}\geqslant {\bar {x}}^{2}$ .

Annexes

Notes

(en) Pages 134, 161 (théorème 2.3 et note 6.1 du chapitre 6) chez Bermon et Plemmons (1994).

Bibliographie

(en) A. Bermon, R.J. Plemmons (1994). Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences. Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphie, USA. (ISBN 0898713218).
(en) R. W. Cottle, J.-S. Pang, R. E. Stone (2009). The linear complementarity problem. Classics in Applied Mathematics 60. SIAM, Philadelphia, PA, USA.
(en) R. A. Horn, Ch. R. Jonhson (1991). Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press, New York, NY, USA.

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