Méthode de discrétisation du gradient

On considère l'équation de Poisson dans un domaine ouvert borné ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}}$, avec des conditions aux limites de Dirichlet homogènes

${\displaystyle \quad (1)\qquad \qquad -\Delta {\overline {u}}=f,}$

dans laquelle ${\displaystyle f\in L^{2}(\Omega )}$. La solution de ce modèle au sens faible usuel[4] est caractérisée par :

${\displaystyle \quad (2)\qquad \quad {\begin{aligned}&&{\mbox{Trouver }}{\overline {u}}\in H_{0}^{1}(\Omega ){\mbox{ tel que, pour tout }}{\overline {v}}\in H_{0}^{1}(\Omega ),\\&&\int _{\Omega }\nabla {\overline {u}}(x)\cdot \nabla {\overline {v}}(x)dx=\int _{\Omega }f(x){\overline {v}}(x)dx.\end{aligned}}}$

D'une manière générale, la MDG pour un tel modèle revient à définir un espace vectoriel de dimension finie, ainsi que deux opérateurs linéaires de reconstruction (l'un pour la fonction, l'autre pour son gradient), et à substituer ces objets discrets aux objets continus correspondants dans (2). Ainsi, la MDG passe par la définition d'une Discrétisation de Gradient (DG), définie par un triplet ${\displaystyle D=(X_{D,0},\Pi _{D},\nabla _{D})}$, dans lequel :

• l'ensemble des inconnues discrètes ${\displaystyle X_{D,0}}$ est un espace vectoriel de dimension finie (a priori sur le corps des réels),
• l'opérateur de reconstruction de la fonction ${\displaystyle \Pi _{D}~:~X_{D,0}\to L^{2}(\Omega )}$ est une application linéaire donnant, pour tout élément de ${\displaystyle X_{D,0}}$, une fonction sur ${\displaystyle \Omega }$,
• l'opérateur de reconstruction du gradient ${\displaystyle \nabla _{D}~:~X_{D,0}\to L^{2}(\Omega )^{d}}$ est une application linéaire donnant, pour tout élément de ${\displaystyle X_{D,0}}$, une fonction vectorielle sur ${\displaystyle \Omega }$ destinée à approcher le gradient de la fonction. Une propriété requise sur la reconstruction du gradient est que ${\displaystyle \Vert \nabla _{D}\cdot \Vert _{L^{2}(\Omega )^{d}}}$ définisse une norme sur ${\displaystyle X_{D,0}}$.

Le "schéma gradient" résultant pour l'approximation de (2) est donné par :

${\displaystyle \quad (3)\qquad \qquad {\begin{aligned}&&{\mbox{Trouver }}u\in X_{D,0}{\mbox{ tel que, pour tout }}v\in X_{D,0},\\&&\int _{\Omega }\nabla _{D}u(x)\cdot \nabla _{D}v(x)dx=\int _{\Omega }f(x)\Pi _{D}v(x)dx.\end{aligned}}}$

La MDG aboutit dans ce cas à une méthode d'approximation non conforme du problème (2), incluant les méthodes d'éléments finis non conformes. Il est important de remarquer que le cadre des MDG est cependant plus large, car il contient des méthodes qui ne peuvent pas être vues comme des éléments finis non conformes, par exemple pour lesquelles la fonction ${\displaystyle \nabla _{D}u}$ ne peut pas être obtenue à partir de la fonction ${\displaystyle \Pi _{D}u}$.

L'estimation d'erreur ci-dessous est inspirée du second lemme de Strang[5] :

${\displaystyle \quad (4)\qquad \qquad W_{D}(\nabla {\overline {u}})\leq \Vert \nabla {\overline {u}}-\nabla _{D}u_{D}\Vert _{L^{2}(\Omega )^{d}}\leq W_{D}(\nabla {\overline {u}})+2S_{D}({\overline {u}}),}$

et

${\displaystyle \quad (5)\qquad \qquad \left\|{\overline {u}}-\Pi _{D}u_{D}\right\|_{L^{2}(\Omega )}\leq C_{D}W_{D}(\nabla {\overline {u}})+(C_{D}+1)S_{D}({\overline {u}}),}$

en définissant :

${\displaystyle \quad (6)\qquad \qquad C_{D}=\max _{v\in X_{D,0}\setminus \{0\}}{\frac {\Vert \Pi _{D}v\Vert _{L^{2}(\Omega )}}{\Vert \nabla _{D}v\Vert _{L^{2}(\Omega )^{d}}}},}$

qui est une mesure de la coercivité (constante de Poincaré discrète),

${\displaystyle \quad (7)\qquad \qquad \forall \varphi \in H_{0}^{1}(\Omega ),\,S_{D}(\varphi )=\min _{v\in X_{D,0}}\left(\Vert \Pi _{D}v-\varphi \Vert _{L^{2}(\Omega )}+\Vert \nabla _{D}v-\nabla \varphi \Vert _{L^{2}(\Omega )^{d}}\right),}$

qui est une mesure de l'erreur d'interpolation,

${\displaystyle \quad (8)\qquad \qquad \forall \varphi \in H_{\operatorname {div} }(\Omega ),\,W_{D}(\varphi )=\max _{v\in X_{D,0}\setminus \{0\}}{\frac {\left|\int _{\Omega }\left(\nabla _{D}v(x)\cdot \varphi (x)+\Pi _{D}v(x)\operatorname {div} \varphi (x)\right)\,dx\right|}{\Vert \nabla _{D}v\Vert _{L^{2}(\Omega )^{d}}}},}$

qui est une mesure de l'erreur de conformité.

Il est alors possible d'établir les bornes inférieure et supérieure ci-dessous pour l'erreur du schéma

${\displaystyle \quad (9){\frac {1}{2}}[S_{D}({\overline {u}})+W_{D}(\nabla {\overline {u}})]\leq \left\Vert {\overline {u}}-\Pi _{D}u_{D}\right\Vert _{L^{2}(\Omega )}+\left\Vert \nabla {\overline {u}}-\nabla _{D}u_{D}\right\Vert _{L^{2}(\Omega )^{d}}\leq (C_{D}+2)[S_{D}({\overline {u}})+W_{D}(\nabla {\overline {u}})].}$

Les propriétés nécessaires et suffisantes pour que la MDG converge sont ainsi, pour une famille de DGs, la coercivité, la DG-consistance et la conformité à la limite (dans les sens précisés dans le paragraphe suivant). De façon plus générale, ces trois propriétés sont suffisantes pour établir la convergence de la MDG pour des problèmes linéaires et pour certains problèmes non linéaires tels que celui du ${\displaystyle p}$-Laplacien. Pour des problèmes non linéaires de diffusion (avec ou non dégénérescence de l'opérateur de diffusion), des propriétés supplémentaires peuvent être nécessaires (voir paragraphe suivant).

Soit ${\displaystyle (D_{m})_{m\in \mathbb {N} }}$ une famille de DGs, définies comme dans le paragraphe précédent (ces méthodes sont la plupart du temps associées à une suite de maillages dont le pas tend vers 0).

Coercivité

La suite ${\displaystyle (C_{D_{m}})_{m\in \mathbb {N} }}$ (définie par (6)) est bornée.

DG-consistance

Pour tout ${\displaystyle \varphi \in H_{0}^{1}(\Omega )}$, ${\displaystyle \lim _{m\to \infty }S_{D_{m}}(\varphi )=0}$ (défini par (7)).

Conformité à la limite

Pour tout ${\displaystyle \varphi \in H_{\operatorname {div} }(\Omega )}$, ${\displaystyle \lim _{m\to \infty }W_{D_{m}}(\varphi )=0}$ (défini par (8)). Cette propriété implique la propriété de coercivité.

Compacité (nécessaire pour certains problèmes non linéaires)

Pour toute suite ${\displaystyle (u_{m})_{m\in \mathbb {N} }}$ telle que ${\displaystyle u_{m}\in X_{D_{m},0}}$ pour tout ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ et ${\displaystyle (\Vert u_{m}\Vert _{D_{m}})_{m\in \mathbb {N} }}$ reste borné, la suite ${\displaystyle (\Pi _{D_{m}}u_{m})_{m\in \mathbb {N} }}$ est relativement compacte dans l'espace ${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$ (cette propriété implique également la propriété de coercivité).

Reconstruction constante par morceaux (nécessaire pour certains problèmes non linéaires)

L'opérateur ${\displaystyle \Pi _{D}}$ est une reconstruction constante par morceaux s'il existe une base ${\displaystyle (e_{i})_{i\in B}}$ de ${\displaystyle X_{D,0}}$ et une famille de sous-ensembles disjoints ${\displaystyle (\Omega _{i})_{i\in B}}$ de ${\displaystyle \Omega }$ tels que ${\displaystyle \Pi _{D}u=\sum _{i\in B}u_{i}\chi _{\Omega _{i}}}$ pour tout ${\displaystyle u=\sum _{i\in B}u_{i}e_{i}\in X_{D,0}}$, où ${\displaystyle \chi _{\Omega _{i}}}$ est la fonction caractéristique de ${\displaystyle \Omega _{i}}$.

Il existe plusieurs problèmes pour lesquels une preuve de la convergence de la MDG a été établie lorsque certaines ou la totalité des propriétés ci-dessus sont satisfaites. On précisera pour chaque cas les propriétés nécessaires.

Toutes les méthodes listées ci-dessous satisfont les premières quatre propriétés d'une MDG (coercivité, DG-consistance, conformité à la limite et compacité), et dans certains cas la cinquième (reconstruction constante par morceaux).

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Gradient discretisation method » (voir la liste des auteurs).
• The Gradient Discretisation Method par Jérôme Droniou, Robert Eymard, Thierry Gallouët, Cindy Guichard et Raphaèle Herbin

• Méthode des éléments finis
• Méthode des différences finies
• Méthode des volumes finis
• Méthode des éléments finis étendus