Méthode des éléments finis étendus

La méthode des X-FEM est la généralisation de méthodes pour traiter la fissuration en éléments finis. La présence de singularités (fissures, perforations, etc.) dégrade fortement la convergence de la méthode des éléments finis (MEF)[1]. Il n'est donc pas suffisant de simplement raffiner le maillage à proximité des singularités pour obtenir une bonne solution.

Différentes approches ont été proposées pour pallier ce problème, la plupart reposant sur l'introduction de fonctions capables de représenter le comportement au voisinage des singularités. Cependant, elles impliquent fréquemment une moins bonne prise en compte des conditions aux limites.

En 1996, Babuška et Melenk ont introduit une méthode permettant d'avoir les fonctions décrivant la singularité tout en respectant les conditions aux limites. Ils ont montré qu'avec cette méthode, l'on retrouvait le taux de convergence normal.

On sait que les singularités en pointe de fissure peuvent être approchées par :

${\displaystyle K_{I}{\frac {\underline {\varphi _{I}({\underline {M}})}}{\sqrt {r}}}+K_{II}{\frac {\underline {\varphi _{II}({\underline {M}})}}{\sqrt {r}}}+K_{III}{\frac {\underline {\varphi _{III}({\underline {M}})}}{\sqrt {r}}}}$

où ${\displaystyle r}$ est la distance du point ${\displaystyle {\underline {M}}}$ à la pointe de fissure.

L'idée principale est donc d'introduire les inconnues ${\displaystyle K_{I},\ K_{II},\ K_{III}}$ et les fonctions de forme ${\displaystyle {\frac {\varphi _{I/II/III}}{\sqrt {r}}}}$, mais ces fonctions n'ont pas les propriétés voulues dans une MEF, notamment sur le bord.

Si l'on a ${\displaystyle m}$ nœuds pour décrire le domaine, dont ${\displaystyle m^{\prime }}$ sont des nœuds intérieurs, alors grâce à la propriété de partition de l'unité des fonctions de formes EF on a :

${\displaystyle R=\displaystyle \Sigma _{i=1}^{m^{\prime }}\varphi _{i}({\underline {M}})=\left\{{\begin{matrix}1&{\text{ si }}&{\underline {M}}\in \Omega ^{\!\!\!\!^{{}^{o}}}\\0&{\text{ si }}&{\underline {M}}\in \partial \Omega \end{matrix}}\right.}$

On peut donc régulariser (au sens des conditions sur le bord) les fonctions de singularité en les multipliant par ${\displaystyle R}$.

L'idée introduite par Babuska et Melenk, est donc d'introduire comme fonction de forme des fonctions capables de prendre en compte la singularité que l'on veut traiter (connues par différentes approches matériaux) et de les régulariser sur le bord grâce à la fonction ${\displaystyle R}$ qui préserve les propriétés des fonctions introduites sur l'intérieur du domaine.

La méthode des X-FEM est une généralisation de cette idée, où l'on s'autorise à enrichir les éléments avec des fonctions régularisées, de manière à pouvoir décrire la répartition spatiale de matière.

Certains pensent qu'il est possible de rentrer toute la complexité d'une structure dans les fonctions de forme, et ainsi faire n'importe quel calcul sur un cube, au lieu de mailler une géométrie compliquée.

• Codes libres : GetFEM++, openxfem++, eXlibris...

• Codes propriétaires : Dynaflow, Altair Radioss, ASTER, Morfeo, Abaqus, ANSYS, SAMCEF, OOFELIE...

• J. M. Melenk, I. Babuška (1996). The partition of unity finite element method: basic theory and applications. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 139 (1–4), 289–314 (DOI 10.1016/s0045-7825(96)01087-0)