Méthode d'Euler semi-implicite

La méthode d'Euler semi-implicite peut être appliquée à une paire d'équations différentielles couplées de la forme

${\displaystyle \forall t\in I,{\mathrm {d} x(t) \over \mathrm {d} t}=f(t,v(t)),\ {\mathrm {d} v(t) \over \mathrm {d} t}=g(t,x(t))}$

où ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} ^{+}}$, et ${\displaystyle f\ }$, ${\displaystyle g\ }$ sont des fonctions réelles sur ${\displaystyle I\times \mathbb {R} }$. ${\displaystyle x\ }$ et ${\displaystyle v\ }$ peuvent être des fonctions scalaires ou vectorielles.

On souhaite résoudre ce système d'équations avec les conditions initiales :

${\displaystyle x(t_{0})=x_{0},\qquad v(t_{0})=v_{0}.}$

La méthode d'Euler semi-implicite donne une solution approchée discrète du problème continu précédent par itérations de

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{n+1}&=v_{n}+g(t_{n},x_{n})\,\Delta t\\[0.3em]x_{n+1}&=x_{n}+f(t_{n},v_{n+1})\,\Delta t\end{aligned}}}$

où ${\displaystyle [t_{0},...,t_{N}]}$ est une subdivision de ${\displaystyle I}$ telle que ${\displaystyle \forall n\in [1,N],t_{n}-t_{n-1}=\Delta t}$ et ainsi ${\displaystyle t_{n}=t_{0}+n\Delta t}$.

Cette méthode est rendue semi-implicite par le fait d'utiliser ${\displaystyle v_{n+1}}$ et non ${\displaystyle v_{n}}$ (cas de la méthode d'Euler explicite) dans le calcul de mise à jour de ${\displaystyle x_{n+1}}$.

Appliquer la même méthode avec des pas de temps négatifs pour le calcul de ${\displaystyle (x_{n},v_{n})}$ d'après ${\displaystyle (x_{n+1},v_{n+1})}$ donne après réarrangement des termes la seconde expression de la méthode d'Euler semi-implicite :

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{n+1}&=x_{n}+f(t_{n},v_{n})\,\Delta t\\[0.3em]v_{n+1}&=v_{n}+g(t_{n},x_{n+1})\,\Delta t\end{aligned}}}$

La méthode d'Euler semi-implicite est, comme la méthode d'Euler explicite, un schéma d'ordre 1 de résolution numérique des équations différentielles.

Le mouvement d'une poutre vérifiant la loi de Hooke est donnée par :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&=v(t)\\[0.2em]{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}&=-{\frac {k}{m}}\,x=-\omega ^{2}\,x.\end{aligned}}}$

Le schéma d'Euler semi-implicite pour cette équation s'écrit alors

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{n+1}&=v_{n}-\omega ^{2}\,x_{n}\,\Delta t\\[0.2em]x_{n+1}&=x_{n}+v_{n+1}\,\Delta t.\end{aligned}}}$

En substituant ${\displaystyle v_{n+1}}$ dans la deuxième équation par l'expression donnée par la première, le schéma itératif se réécrit comme un système d'équations :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{n+1}\\v_{n+1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-\omega ^{2}\Delta t^{2}&\Delta t\\-\omega ^{2}\Delta t&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{n}\\v_{n}\end{bmatrix}},}$

et comme le déterminant de cette matrice vaut 1, la transformation préserve les distances.

Ce schéma itératif conserve la fonctionnelle énergie modifiée ${\displaystyle E_{h}(x,v)={\tfrac {1}{2}}\left(v^{2}+\omega ^{2}\,x^{2}-\omega ^{2}\Delta t\,vx\right)}$, ce qui donne des orbites périodiques stables (pour des pas suffisamment petits) qui dévient en ${\displaystyle O(\Delta t)}$ des orbites exactes. La fréquence circulaire exacte ${\displaystyle \omega }$ augmente numériquement d'un facteur de ${\displaystyle 1+{\tfrac {1}{24}}\omega ^{2}\Delta t^{2}+O(\Delta t^{4})}$.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Semi-implicit Euler method » (voir la liste des auteurs).

• (en) Branislav K. Nikolic, « Euler-Cromer method », University of Delaware (consulté le 29 septembre 2021)
• (en) Franz J. Vesely, Computational Physics: An Introduction, Springer, 2001, 117 (ISBN 978-0-306-46631-1, lire en ligne )
• (en) Nicholas J. Giordano et Hisao Nakanishi, Computational Physics, Benjamin Cummings, juillet 2005 (ISBN 0-13-146990-8)