Loi normale repliée

La densité de probabilité est donnée par :

${\displaystyle f_{Y}(x)={\begin{cases}{\displaystyle {\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,\exp \left(-{\frac {(-x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)+{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}&{\text{ pour }}x\geq 0\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}}$

La fonction de répartition est donnée par :

${\displaystyle F_{Y}(y)={\begin{cases}{\displaystyle \int _{0}^{y}{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\left[\exp \left(-{\frac {(-x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)+\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\right]\mathrm {d} x.}&{\text{ pour }}y\geq 0\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}}$

En utilisant le changement de variable ${\displaystyle z=(x-\mu )/\sigma }$, on peut réécrire

${\displaystyle F_{Y}(y)=\int _{-\mu /\sigma }^{(y-\mu )/\sigma }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left(z+{\frac {2\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right)\mathrm {d} z+\int _{-\mu /\sigma }^{(y-\mu )/\sigma }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,\exp \left(-{\frac {z^{2}}{2}}\right)\mathrm {d} z.}$

De manière similaire, en utilisant le changement de variable ${\displaystyle z=-(x+\mu )/\sigma {\sqrt {2}}}$ dans la première intégrale et ${\displaystyle z=(x-\mu )/{\sqrt {2}}\sigma }$ dans la deuxième, on peut écrire

${\displaystyle F_{Y}(y)={\frac {1}{2}}\left[{\mbox{erf}}\left({\frac {y+\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}\right)+{\mbox{erf}}\left({\frac {y-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}\right)\right],}$

où erf est la fonction d'erreur. On retrouve alors la loi demi-normale quand μ = 0.