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Loi normale rectifiée

En théorie des probabilités et en statistique, la loi normale rectifiée est une modification de la loi normale lorsque ses valeurs négatives sont « remises à » 0. C'est une loi mixte issue d'un mélange entre une loi de probabilité discrète (mesure de Dirac en 0) et une loi de probabilité à densité (loi normale tronquée sur $\scriptstyle ]0,\infty [$ ).

Loi normale rectifiée



Paramètres	$\mu \in \mathbb {R}$ paramètre de position $\sigma >0\,$ paramètre d'échelle
Support	$x\in [0,+\infty [\!$
Densité de probabilité	$\scriptstyle \Phi (-{\frac {\mu }{\sigma }})\delta (x)+{\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}{\textrm {U}}(x).$

Une variable aléatoire qui suit une loi normale rectifiée est notée : $X\sim {\mathcal {N}}^{\textrm {R}}(\mu ,\sigma ^{2})$ .

Densité de probabilité

La densité de probabilité d'une loi normale rectifiée est donnée par

f(x;\mu ,\sigma ^{2})=\Phi (-{\frac {\mu }{\sigma }})\delta (x)+{\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\;e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}{\textrm {U}}(x).

Comparaison d'une loi normale, d'une loi normale rectifiée et d'une loi normale tronquée.

Ici, $\Phi$ est la fonction de répartition de la loi normale :

\Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-t^{2}/2}\,dt\quad x\in \mathbb {R} ,

$\delta$ est la distribution de Dirac :

\delta (x)={\begin{cases}\infty ,&x=0\\0,&x\neq 0\end{cases}}

et, ${\textrm {U}}$ est la fonction de Heaviside:

{\textrm {U}}(x)={\begin{cases}0,&x\leq 0,\\1,&x>0.\end{cases}}

Forme alternative

Une alternative simple est de considérer le cas où

S\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2}),X={\textrm {max}}(0,S),

alors,

X\sim {\mathcal {N}}^{\textrm {R}}(\mu ,\sigma ^{2})

Références

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