Loi du zéro-un de Borel

Dans un espace probabilisé ${\displaystyle \left(\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} \right),}$ considérons une suite ${\displaystyle (A_{n})_{n\geq 0}}$ d'éléments de ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ (ou "événements"). La loi du zéro-un de Borel stipule que :

Loi du zéro-un de Borel — Si les événements ${\displaystyle A_{n}}$ sont indépendants, alors ${\displaystyle \mathbb {P} \left(\limsup _{n}A_{n}\right)}$ vaut 0 ou 1 suivant que la série de terme général ${\displaystyle \mathbb {P} (A_{n})}$ est convergente ou divergente.

Démonstration

• Si la série de terme général ${\displaystyle \mathbb {P} (A_{n})}$ est convergente, alors, en vertu du lemme de Borel-Cantelli, on a ${\displaystyle \mathbb {P} \left(\limsup _{n}A_{n}\right)=0.}$

C'est dans ce sens que l'hypothèse d'indépendance est superflue.

• Supposons que la série de terme général ${\displaystyle \mathbb {P} (A_{n})}$ est divergente, et montrons que

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\limsup _{n}A_{n}\right)=1,}$

ou, de manière équivalente, montrons que

${\displaystyle \mathbb {P} \left({\overline {\limsup _{n}A_{n}}}\right)=0.}$

On rappelle que

${\displaystyle {\overline {\limsup _{n}A_{n}}}=\liminf _{n}\ {\overline {A_{n}}},}$

d'après les lois de De Morgan. Plus précisément,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\limsup _{n}A_{n}}}&={\overline {\bigcap _{n\geq 0}\bigcup _{k\geq n}A_{k}}}\\&=\bigcup _{n\geq 0}\bigcap _{k\geq n}{\overline {A_{k}}}\\&=\bigcup _{n\geq 0}B_{n},\end{aligned}}}$

où

${\displaystyle B_{n}=\bigcap _{k\geq n}{\overline {A_{k}}}={\overline {A_{n}}}\cap B_{n+1}}$

est une suite croissante d'événements. Ainsi

${\displaystyle \mathbb {P} \left({\overline {\limsup _{n}A_{n}}}\right)=\lim _{n}\ \mathbb {P} \left(B_{n}\right).}$

On conclut en montrant que ${\displaystyle \mathbb {P} \left(B_{n}\right)=0}$. Posons

${\displaystyle B_{n,\ell }=\bigcap _{n\leq k\leq n+\ell }{\overline {A_{k}}}={\overline {A_{n+\ell }}}\cap B_{n,\ell -1}.}$

En vertu de l'indépendance des ${\displaystyle A_{i},}$

${\displaystyle \mathbb {P} \left(B_{n,\ell }\right)=\prod _{n\leq k\leq n+\ell }\mathbb {P} \left({\overline {A_{k}}}\right)=\prod _{n\leq k\leq n+\ell }\left(1-\mathbb {P} \left(A_{k}\right)\right).}$

En vertu de la décroissance en ${\displaystyle \ell }$ de ${\displaystyle B_{n,\ell },}$

${\displaystyle \mathbb {P} \left(B_{n}\right)=\lim _{\ell }\mathbb {P} \left(B_{n,\ell }\right).}$

Or on a :

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} \left(B_{n,\ell }\right)&=\prod _{k=n}^{n+\ell }\left(1-\mathbb {P} \left(A_{k}\right)\right)\\&\leq \prod _{k=n}^{n+\ell }\exp \left(-\mathbb {P} \left(A_{k}\right)\right)\\&=\exp \left(-\sum _{k=n}^{n+\ell }\mathbb {P} \left(A_{k}\right)\right){\underset {\ell \rightarrow \infty }{\longrightarrow }}0\end{aligned}}}$

par convexité de l'exponentielle puis divergence de la série de terme général ${\displaystyle \mathbb {P} \left(A_{n}\right),}$ ce qui achève la démonstration.

En d'autres termes, on peut dire que ${\displaystyle \textstyle \omega \in \limsup _{n}\,A_{n}}$ si et seulement si l'ensemble ${\displaystyle \{k\geq 0\ \vert \ \omega \in A_{k}\}}$ est infini, ou bien non borné. Une formulation équivalente est la suivante : pour tout ${\displaystyle n\geq 0}$, on peut trouver ${\displaystyle k\geq n}$ tel que ${\displaystyle \omega \in A_{k}}$. Cette dernière formulation fournit une écriture commode de la limite supérieure d'ensembles à l'aide d'opérations élémentaires sur les ensembles :

${\displaystyle \limsup _{n}A_{n}=\bigcap _{n\geq 0}(\bigcup _{k\geq n}A_{k}).}$

Sous l'influence de la terminologie anglo-saxonne, on dira aussi parfois que ${\displaystyle \textstyle \omega \in \limsup _{n}\,A_{n}}$ si et seulement si ${\displaystyle \{\omega \in A_{k}\}}$ "infiniment souvent" ou bien "infinitely often", d'où la notation rencontrée dans certains ouvrages :

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\limsup _{n}A_{n}\right)=\mathbb {P} \left(A_{n}\quad {\text{i.o.}}\right).}$

La définition "${\displaystyle \textstyle \omega \in \limsup _{n}\,A_{n}}$ si et seulement si ${\displaystyle \omega }$ appartient à une infinité de ${\displaystyle A_{k}}$" peut induire en erreur : si, par exemple, toutes les parties ${\displaystyle A_{k}}$ sont égales, il se peut que ${\displaystyle \omega }$ appartienne à ${\displaystyle A_{k}}$ pour une infinité d'indices ${\displaystyle k}$, et il se peut donc que ${\displaystyle \omega }$ appartienne à ${\displaystyle \textstyle \limsup _{n}\,A_{n},}$ sans pour autant qu'${\displaystyle \omega }$ appartienne à une infinité de ${\displaystyle A_{k}}$ (puisqu'il n'existe, au fond, qu'un seul ${\displaystyle A_{k}}$).