Loi de Nakagami

La densité de probabilité de la loi de Nakagami est donnée par[1] :

${\displaystyle f(x;\,m,\omega )={\begin{cases}\displaystyle {\frac {2m^{m}}{\Gamma (m)\omega ^{m}}}x^{2m-1}\exp \left(-{\frac {m}{\omega }}x^{2}\right)&{\text{ pour }}x>0\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}}$

où ${\displaystyle \Gamma }$ est la fonction Gamma.

Sa fonction de répartition est :

${\displaystyle F(x;\,m,\omega )={\begin{cases}\displaystyle P\left(m,{\frac {m}{\omega }}x^{2}\right)&{\text{ pour }}x>0\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}}$

où P est la fonction gamma incomplète (régularisée).

Les paramètres ${\displaystyle m}$ et ${\displaystyle \omega }$ sont[2] :

${\displaystyle m={\frac {\mathbb {E} ^{2}\left[X^{2}\right]}{Var\left[X^{2}\right]}},}$

et

${\displaystyle \omega =\mathbb {E} \left[X^{2}\right].}$

La loi Nakagami est liée à la loi Gamma. En particulier, pour une variable aléatoire Y de loi Gamma, ${\displaystyle Y\,\sim {\textrm {Gamma}}(k,\theta )}$, il est possible d'obtenir une variable aléatoire X de loi de Nakagami, ${\displaystyle X\,\sim {\textrm {Nakagami}}(\mu ,\omega )}$, en posant ${\displaystyle k=m}$, ${\displaystyle \theta =\omega /m}$, et en considérant la racine carrée de Y :

${\displaystyle X={\sqrt {Y}}\,}$.

L'utilisation de la loi de Nakagami remonte à 1960[3], c'est-à-dire que c'est une loi relativement nouvelle. Elle est utilisée pour modéliser l’atténuation des réseaux sans fils au travers de plusieurs chemins[4].