Logique de Łukasiewicz

Les connecteurs propositionnels de la logique de Łukasiewicz sont l'implication ${\displaystyle \rightarrow }$, la négation ${\displaystyle \neg }$, l'équivalence ${\displaystyle \leftrightarrow }$, la conjonction inclusive ${\displaystyle \wedge }$, conjonction exclusive ${\displaystyle \otimes }$, disjonction inclusive ${\displaystyle \vee }$, disjonction exclusive ${\displaystyle \oplus }$, et les constantes propositionnelles ${\displaystyle {\overline {0}}}$ et ${\displaystyle {\overline {1}}}$. La présence de la conjonction et de disjonction est une caractéristique commune des logiques sous-structurelles sans la règle de contraction, à laquelle la logique Łukasiewicz appartient.

Le système original d'axiomes pour la logique de Łukasiewicz utilise l'implication et la négation comme conjonctions primitifs:

${\displaystyle A\rightarrow (B\rightarrow A)}$

${\displaystyle (A\rightarrow B)\rightarrow ((B\rightarrow C)\rightarrow (A\rightarrow C))}$

${\displaystyle ((A\rightarrow B)\rightarrow B)\rightarrow ((B\rightarrow A)\rightarrow A)}$

${\displaystyle (\neg B\rightarrow \neg A)\rightarrow (A\rightarrow B).}$

La logique de Łukasiewicz peut également être axiomatisé en ajoutant les axiomes suivants au système axiomatique de la logique t-norme monoïdale:

• Divisibilité : ${\displaystyle (A\wedge B)\rightarrow (A\otimes (A\rightarrow B))}$
• Double négation : ${\displaystyle \neg \neg A\rightarrow A.}$

Les logiques de Lukasiewicz à valeur-fini exigent des axiomes supplémentaires.

La logique de Łukasiewicz est une logique à valeur réelle dans laquelle les calculs de propositions peuvent être affectés d'une valeur de vérité de zéro ou un, mais aussi de nombre réel entre les deux (par exemple 0,25). Les évaluations ont une définition récursive où:

• ${\displaystyle w(\theta \circ \phi )=F_{\circ }(w(\theta ),w(\phi ))}$ pour un connecteur binaire ${\displaystyle \circ ,}$
• ${\displaystyle w(\neg \theta )=F_{\neg }(w(\theta )),}$
• ${\displaystyle w({\overline {0}})=0}$ et ${\displaystyle w({\overline {1}})=1,}$

et où les définitions des opérations tiennent comme suit:

• Implication : ${\displaystyle F_{\rightarrow }(x,y)=\min\{1,1-x+y\}}$
• Équivalence : ${\displaystyle F_{\leftrightarrow }(x,y)=1-|x-y|}$
• Négation : ${\displaystyle F_{\neg }(x)=1-x}$
• Conjonction inclusive : ${\displaystyle F_{\wedge }(x,y)=\min\{x,y\}}$
• Disjonction inclusive : ${\displaystyle F_{\vee }(x,y)=\max\{x,y\}}$
• Conjonction exclusive : ${\displaystyle F_{\otimes }(x,y)=\max\{0,x+y-1\}}$
• Disjonction exclusive : ${\displaystyle F_{\oplus }(x,y)=\min\{1,x+y\}.}$

La fonction de vérité ${\displaystyle F_{\otimes }}$ (conjonction exclusive) est la t-norme de Łukasiewicz et la fonction de vérité ${\displaystyle F_{\oplus }}$ (disjonction exclusive) est son double t-conorme. La fonction de la vérité ${\displaystyle F_{\rightarrow }}$ est le résidu de la t-norme de Łukasiewicz. Toutes les fonctions de vérité des conjonctions de base sont continues.

Par définition, une formule est une tautologie de la logique de Łukasiewicz, si elle est évaluée à 1 dans l'intervalle [0, 1].

• Fonction de vérité
• Opérateur logique
• logique plurivalente
• Jan Łukasiewicz
• Stanisław Leśniewski
• (27114) Lukasiewicz

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Łukasiewicz logic » (voir la liste des auteurs).

• Rose, A. : 1956, Formalisation du Calcul Propositionnel Implicatif ℵ₀ Valeurs de Łukasiewicz, C. R. Acad. Sci. Paris 243, 1183–1185.