Itération du quotient de Rayleigh

L'algorithme est très similaire à la méthode de la puissance inverse, mais remplace l'estimation de la valeur propre à la fin de l'itération par le quotient de Rayleigh.

On commence par choisir une certaine valeur μ₀ comme première estimation d'une valeur propre μ d'une matrice hermitienne A. On doit également choisir un vecteur initial b₀ qui est une première estimation d'un vecteur propre b associé à la valeur propre que l'on souhaite calculer.

Pour calculer les prochaines estimations μ_i+1 et b_i+1 de la valeur propre μ et de son vecteur propre associé b à partir des estimations μ_i et b_i, on commence par calculer

${\displaystyle b_{i+1}={\frac {(A-\mu _{i}I)^{-1}b_{i}}{||(A-\mu _{i}I)^{-1}b_{i}||}},}$

où I est la matrice identité puis on définit

${\displaystyle \mu _{i}={\frac {b_{i}^{*}A\,b_{i}}{b_{i}^{*}\ b_{i}}}.}$

À noter que dans le calcul de b_i+1, il n'est pas nécessaire de calculer l'inverse de A – μ_iI mais seulement de résoudre le système linéaire (A – μ_iI)x = b_i.

Pour calculer plus d'une valeur propre à la fois, on peut combiner cet algorithme avec une technique de déflation.

Considérons la matrice

${\displaystyle A=\left[{\begin{matrix}1&2&3\\1&2&1\\3&2&1\\\end{matrix}}\right]}$

qui admet comme valeurs propres

${\displaystyle \lambda _{1}=3+{\sqrt {5}},\,\lambda _{2}=3-{\sqrt {5}},\,\lambda _{3}=-2,}$

avec des vecteurs propres correspondants

${\displaystyle v_{1}=\left[{\begin{matrix}1\\\varphi -1\\1\\\end{matrix}}\right],\quad v_{2}=\left[{\begin{matrix}1\\-\varphi \\1\\\end{matrix}}\right]\quad {\text{et}}\quad v_{3}=\left[{\begin{matrix}-1\\0\\1\\\end{matrix}}\right]}$

où

${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$

est le nombre d'or.

La plus grande valeur propre est donc

${\displaystyle \lambda _{1}\approx 5,2361.}$

On commence par choisir comme premières estimations

${\displaystyle b_{0}=\left[{\begin{matrix}1\\1\\1\\\end{matrix}}\right],\,\mu _{0}=200.}$

Alors la première estimation donne

${\displaystyle b_{1}\approx \left[{\begin{matrix}-0,57927\\-0,57348\\-0,57927\\\end{matrix}}\right],~\mu _{1}\approx 5,3355}$

puis la deuxième

${\displaystyle b_{2}\approx \left[{\begin{matrix}0,64676\\0,40422\\0,64676\\\end{matrix}}\right],~\mu _{2}\approx 5,2418}$

puis la troisième

${\displaystyle b_{3}\approx \left[{\begin{matrix}-0,64793\\-0,40045\\-0,64793\\\end{matrix}}\right]=-0,64793\left[{\begin{matrix}1\\0,618\\1\\\end{matrix}}\right],~\mu _{3}\approx 5,2361.}$

ce qui illustre la convergence cubique de la méthode.

• Algorithme de recherche de valeur propre
• Méthode de la puissance itérée

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Rayleigh quotient iteration » (voir la liste des auteurs).
• Lloyd N. Trefethen and David Bau, III, Numerical Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics, 1997. (ISBN 0-89871-361-7).
• Rainer Kress, "Numerical Analysis", Springer, 1991. (ISBN 0-387-98408-9)