Intérieur relatif

L'intérieur relatif d'une partie non vide quelconque[1] ${\displaystyle P}$ d'un espace affine topologique (en particulier, d'un espace vectoriel topologique) ${\displaystyle E}$ est l'intérieur de ${\displaystyle P}$ dans son enveloppe affine, munie de la topologie induite de celle de ${\displaystyle E}$.

On le note ${\displaystyle \operatorname {ir} P}$ ou ${\displaystyle \operatorname {intr} P}$ (ou ${\displaystyle \operatorname {ri} P}$, de l'anglais relative interior).

Par définition, on a donc :

Cette notion est souvent utile en analyse convexe, par exemple pour désigner l'intérieur relatif d'une face d'un polyèdre convexe, alors que l'intérieur d'une face est le plus souvent vide.

La frontière relative de cette même partie ${\displaystyle P}$ est l'ensemble des points de son adhérence qui ne sont pas dans son intérieur relatif, c'est-à-dire l'ensemble ${\displaystyle {\overline {P}}\setminus \operatorname {ir} P}$.