Inégalité de Le Cam

Soit ${\displaystyle (X_{1,n},X_{2,n},\dots ,X_{a_{n},n})_{n\geq 1}}$ un tableau de variables aléatoires de Bernoulli indépendantes, avec paramètres respectifs ${\displaystyle p_{k,n}.}$ On note

${\displaystyle S_{n}=\sum _{k=1}^{a_{n}}\,X_{k,n}\quad {\text{et}}\quad \lambda _{n}\ =\ \mathbb {E} [S_{n}]=\sum _{k=1}^{a_{n}}\,p_{k,n}.}$

Alors

Inégalité de Le Cam — Pour tout ensemble A d'entiers naturels,

${\displaystyle \left|\mathbb {P} \left(S_{n}\in A\right)-\sum _{\ell \in A}\,{\frac {\lambda _{n}^{\ell }\,e^{-\lambda _{n}}}{\ell$ !}}\right|\ \leq \ \sum _{k=1}^{a_{n}}\,p_{k,n}^{2}.}

En particulier, S_n suit approximativement la loi de Poisson de paramètre λ dès que les deux conditions suivantes sont réunies :

• ${\displaystyle \lim _{n}\lambda _{n}\,=\,\lambda >0,\ }$
• ${\displaystyle \lim _{n}\sum _{k=1}^{a_{n}}\,p_{k,n}^{2}\,=\,0.\ }$

En effet, l'inégalité de Le Cam entraine que :

${\displaystyle \sum _{\ell \in \mathbb {N} }\ \left|\mathbb {P} \left(S_{n}=\ell \right)-\,{\frac {\lambda _{n}^{\ell }\,e^{-\lambda _{n}}}{\ell$ !}}\right|\ \leq \ 2\ \sum _{k=1}^{a_{n}}\,p_{k,n}^{2}.}

Posons

${\displaystyle M_{n}=\max _{1\leq k\leq a_{n}}\,p_{k,n}.}$

On a les inégalités :

${\displaystyle M_{n}^{2}\leq \sum _{1\leq k\leq a_{n}}\,p_{k,n}^{2}\leq M_{n}\lambda _{n},\quad {\text{et}}\quad a_{n}\geq \lambda _{n}/M_{n},}$

donc les deux conditions ${\displaystyle \lim _{n}\lambda _{n}\,=\,\lambda >0,\ }$ et ${\displaystyle \lim _{n}\sum _{k=1}^{a_{n}}\,p_{k,n}^{2}\,=\,0,\ }$ apparaissant à la section précédente, entrainent que

• ${\displaystyle \lim _{n}M_{n}\,=\,0,\ }$
• ${\displaystyle \lim _{n}a_{n}\,=\,+\infty .\ }$

Les deux conditions ${\displaystyle \lim _{n}M_{n}\,=\,0\ }$ et ${\displaystyle \lim _{n}a_{n}\,=\,+\infty \ }$ sont souvent reformulées informellement de la manière suivante :