Inégalité de Huygens

Soit f fonction qui à tout x de ${\displaystyle \left[{0};{\frac {\pi }{2}}\right[}$, associe ${\displaystyle f(x)=2\times \sin {x}+\tan {x}-3x}$.
Cette fonction est dérivable sur cet intervalle comme somme de fonctions dérivables. La fonction dérivée de f est la fonction f' qui à tout x de l'intervalle considéré associe :

${\displaystyle f'(x)={\frac {2\cos ^{3}x-3\cos ^{2}x+1}{\cos ^{2}{x}}}={\frac {(\cos x-1)^{2}(2\cos {x}+1)}{\cos ^{2}{x}}}}$.

Sur l'intervalle considéré, les inégalités suivantes sont vérifiées : ${\displaystyle \forall x\,\cos ^{2}x>0}$ et ${\displaystyle \forall x\,(\cos x-1)^{2}(2\cos {x}+1)\geq 0}$.

Donc, ${\displaystyle \forall x\in \left[{0};{\frac {\pi }{2}}\right[,f'(x)\geq 0}$ et la fonction f est croissante sur l'intervalle considéré.

On remarque l'égalité : ${\displaystyle f(0)=0}$ par conséquent : ${\displaystyle \forall x\in \left[{0};{\frac {\pi }{2}}\right[,f(x)\geq 0\Leftrightarrow \forall x\in \left[{0};{\frac {\pi }{2}}\right[,2\sin x+\tan x\geq 3x}$

Cette inégalité, associée à cette minoration[1]:

${\displaystyle {\dfrac {8\sin(x)-\sin(2x)}{6}}\leq x}$

fournit un meilleur encadrement de x que le simple encadrement

${\displaystyle \sin(x)\leq x\leq \tan x}$

Appliqué à ${\displaystyle x=\pi /n}$, cet encadrement sert à améliorer la méthode d'Archimède pour calculer Pi. En fait, Snell, dans sa Cyclometria (1621) énonçait déjà cette formule, mais sans la démontrer rigoureusement[2]. Huygens dans son ouvrage de Circuli dimensione (1654) se propose de démontrer ces inégalités et d'en présenter d'autres, utiles à la quadrature du cercle approchée[3]. Ce problème ancien, déjà abordé par Nicolas de Cuse dans son De mathematica perfectione (1512), avait fait l'objet plus récemment d'un travail de Grégoire de Saint-Vincent, Opus geometricum quadraturae circuli (1647).

La démonstration de Huygens diffère de celle indiquée ci-dessus : elle est géométrique. Bien que Huygens dans des travaux ultérieurs sur la cycloïde détermine les tangentes de diverses courbes, il restera toujours prudent vis-à-vis du calculus.

La démonstration que l'on peut tirer du de Circuli[4], est assez astucieuse et se réfère, d'une part à une inégalité d'aires, itérée, d'autre part à des propriétés de proportionnalités entre segments.

Il existe de nos jours des dizaines d'inégalités de ce type[5] démontrées maintenant avec des outils d'analyse (Développement limité, règle de l'Hôpital sur la monotonie,...)