Inégalité de Hardy

Un changement de variables donne

${\displaystyle \left(\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}f(t)\,dt\right)^{p}\ dx\right)^{1/p}=\left(\int _{0}^{\infty }\left(\int _{0}^{1}f(sx)\,ds\right)^{p}\,dx\right)^{1/p},}$

qui est inférieur ou égal à ${\displaystyle \int _{0}^{1}\left(\int _{0}^{\infty }f(sx)^{p}\,dx\right)^{1/p}\,ds}$ par l'inégalité intégrale de Minkowski. Enfin, par un autre changement de variables, la dernière expression est égale à
${\displaystyle \int _{0}^{1}\left(\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,dx\right)^{1/p}s^{-1/p}\,ds={\frac {p}{p-1}}\left(\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,dx\right)^{1/p}.}$

En supposant que le côté droit soit fini, on doit avoir ${\displaystyle a_{n}\to 0}$ quand ${\displaystyle n\to \infty }$ . Par conséquent, pour tout entier positif j, il n'y a qu'un nombre fini de termes supérieurs à ${\displaystyle 2^{-j}}$ . Cela permet de construire une suite décroissante ${\displaystyle b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots }$ contenant les mêmes termes positifs que la suite d'origine (mais éventuellement aucun termes nuls). Puisque ${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}\leq b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{n}}$ pour tout n, il suffit de montrer l'inégalité pour la nouvelle suite. Cela découle directement de la forme intégrale, en définissant ${\displaystyle f(x)=b_{n}}$ si ${\displaystyle n-1<x<n}$ et ${\displaystyle f(x)=0}$ autrement. En effet, on a

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,dx=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}^{p}}$

et pour ${\displaystyle n-1<x<n}$, on a

${\displaystyle {\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}f(t)\,dt={\frac {b_{1}+\dots +b_{n-1}+(x-n+1)b_{n}}{x}}\geq {\frac {b_{1}+\dots +b_{n}}{n}}}$

(la dernière inégalité équivaut à ${\displaystyle (n-x)(b_{1}+\dots +b_{n-1})\geq (n-1)(n-x)b_{n}}$, ce qui est vrai car la nouvelle suite est décroissante) et donc

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {b_{1}+\dots +b_{n}}{n}}\right)^{p}\leq \int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}f(t)\,dt\right)^{p}\,dx}$ .