Inégalité de Carleman

Soit pour tout ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*}}$, ${\displaystyle c_{n}={\frac {(n+1)^{n}}{n^{n-1}}}}$. Observons que ${\displaystyle c_{1}c_{2}\cdots c_{n}=(n+1)^{n}}$, et donc ${\displaystyle (c_{1}c_{2}\cdots c_{n})^{1/n}=n+1}$. Soit ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$. Alors, d'après l'inégalité arithmético-géométrique,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}\left(\prod _{k=1}^{n}a_{k}\right)^{1/n}&=\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n+1}}\left(\prod _{k=1}^{n}a_{k}c_{k}\right)^{1/n}\\&\leqslant \sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n(n+1)}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}c_{k}.\end{aligned}}}$

Une inversion de somme conduit alors à

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}\left(\prod _{k=1}^{n}a_{k}\right)^{1/n}&\leqslant \sum _{k=1}^{N}\left(\sum _{n=k}^{N}{\frac {1}{n(n+1)}}\right)a_{k}c_{k}\\&=\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{N+1}}\right)a_{k}c_{k}\\&\leqslant \sum _{k=1}^{N}a_{k}{\frac {c_{k}}{k}}.\end{aligned}}}$

Or la suite de nombres rationnels ${\displaystyle \textstyle {\frac {c_{k}}{k}}=(1+{\frac {1}{k}})^{k}}$ croît vers le nombre irrationnel e, donc ${\displaystyle {\frac {c_{k}}{k}}<\mathrm {e} }$ pour tout ${\displaystyle k\geqslant 1}$. D'où

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}\left(\prod _{k=1}^{n}a_{k}\right)^{1/n}\leqslant \mathrm {e} \sum _{k=1}^{N}a_{k},}$

et cette inégalité est stricte lorsque N est assez grand, à moins que la suite ${\displaystyle (a_{k})_{k\geq 1}}$ ne soit identiquement nulle. L'inégalité de Carleman s'en déduit en faisant tendre N vers l'infini.

• Inégalité arithmético-géométrique
• Inégalité de Hardy
• Torsten Carleman