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Inégalité de Bernoulli

En analyse, l'inégalité de Bernoulli — nommée d'après Jacques Bernoulli — énonce que :

Illustration de l'inégalité de Bernoulli pour

pour tout entier[1] n > 1 et tout réel x non nul supérieur ou égal à −1.

Démonstration par récurrence

Soit un réel . Montrons l'inégalité pour tout entier n > 1, par récurrence[2] sur n.

  • Initialisation : donc la propriété est vraie pour n = 2.
  • Hérédité : supposons (hypothèse de récurrence) que et montrons que la propriété est vraie au rang suivant k + 1, c'est-à-dire montrons que .
    En multipliant les deux membres de l'inégalité de l'hypothèse de récurrence par 1 + x (qui par hypothèse est positif ou nul) on obtient : .
  • Conclusion : la propriété est vraie au rang 2 et elle est héréditaire donc vraie pour tout entier n ≥ 2.

Généralisation

Pour tout réel r > 1 et tout réel x non nul et supérieur ou égal à −1, on a encore :

.

Utilisations

L'inégalité de Bernoulli peut être utilisée comme lemme pour démontrer que pour tout réel q > 1, la limite de la suite géométrique (qn) est +∞.

Notes et références

  1. (en) Visualisation par une animation interactive, sur demonstrations.wolfram.com
  2. Une méthode plus rapide est d'utiliser la formule du binôme si x > 0 ((en) Eric W. Weisstein, « Bernoulli Inequality », sur MathWorld) et la formule de la somme des premiers termes d'une suite géométrique si −1 ≤ x < 0 ().
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