Inégalité de Bernoulli

Soit un réel ${\displaystyle x\in \left[-1,0\right[\cup \left]0,+\infty \right[}$. Montrons l'inégalité pour tout entier n > 1, par récurrence[2] sur n.

• Initialisation : ${\displaystyle (1+x)^{2}=1+2x+x^{2}>1+2x}$ donc la propriété est vraie pour n = 2.
• Hérédité : supposons (hypothèse de récurrence) que ${\displaystyle (1+x)^{k}>1+kx}$ et montrons que la propriété est vraie au rang suivant k + 1, c'est-à-dire montrons que ${\displaystyle (1+x)^{k+1}>1+(k+1)x}$.
  En multipliant les deux membres de l'inégalité de l'hypothèse de récurrence par 1 + x (qui par hypothèse est positif ou nul) on obtient : ${\displaystyle (1+x)^{k+1}=(1+x)^{k}(1+x)\geq (1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx^{2}>1+(k+1)x}$.
• Conclusion : la propriété est vraie au rang 2 et elle est héréditaire donc vraie pour tout entier n ≥ 2.

Pour tout réel r > 1 et tout réel x non nul et supérieur ou égal à −1, on a encore :

${\displaystyle (1+x)^{r}>1+rx}$.

Démonstration par étude des variations de la différence

Cette fois c'est r qu'on fixe (strictement supérieur à 1), et l'on étudie les variations de la fonction f définie sur D = [–1, +∞[ par :

${\displaystyle f(x)=(1+x)^{r}-(1+rx)}$,

le but étant de montrer que f(x) > 0 pour tout x non nul appartenant à D.

Les deux premières dérivées de f sur ]–1, +∞[ sont données par :

${\displaystyle f'(x)=r\left(1+x\right)^{r-1}-r=r\left(\left(1+x\right)^{r-1}-1\right)}$,

${\displaystyle f''(x)=r(r-1)\left(1+x\right)^{r-2}>0}$

donc ${\displaystyle f'}$ est nulle en 0 et strictement croissante. Elle est donc strictement négative sur ]–1, 0[ et strictement positive sur ]0, +∞[.

Par conséquent, la fonction f (continue en 0 et −1) est strictement décroissante sur [–1, 0] et strictement croissante sur [0, +∞[.

Comme elle s'annule en 0, on a donc bien f > 0 sur ${\displaystyle \left[-1,0\right[\cup \left]0,+\infty \right[}$.

L'inégalité de Bernoulli peut être utilisée comme lemme pour démontrer que pour tout réel q > 1, la limite de la suite géométrique (qⁿ) est +∞.