Immanant d'une matrice

Soit ${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots )}$ une partition d'un entier ${\displaystyle n}$ et soit ${\displaystyle \chi _{\lambda }}$ le caractère de la représentation irréductible correspondante du groupe symétrique ${\displaystyle S_{n}}$. L'immanant d'une matrice ${\displaystyle A=(a_{ij})}$ d'ordre ${\displaystyle n}$ associe au caractère ${\displaystyle \chi _{\lambda }}$ est défini comme :

${\displaystyle {\rm {Imm}}_{\lambda }(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\chi _{\lambda }(\sigma )a_{1\sigma (1)}a_{2\sigma (2)}\cdots a_{n\sigma (n)}.}$

Le déterminant est le cas particulier de l’immanant obtenu lorsque ${\displaystyle \chi _{\lambda }}$ est le caractère alternant ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$, de S_n, défini par la parité d'une permutation.

Le permanent est le cas particulier de l’immanant obtenu lorsque ${\displaystyle \chi _{\lambda }}$ est le caractère trivial égal à 1.

Dans leurs travaux, Littlewood et Richardson ont aussi étudié les relations de l’immanant avec les fonctions de Schur dans la théorie des représentations du groupe symétrique.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Immanant of a matrix » (voir la liste des auteurs).
• Dudley E. Littlewood et Archibald R. Richardson, « Group Characters and Algebra », Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, The Royal Society, vol. 233, n^os 721–730,‎ 1934, p. 99–141 (ISSN 0264-3952, DOI 10.1098/rsta.1934.0015, JSTOR 91293, lire en ligne)
• Dudley E. Littlewood, The theory of group characters and matrix representations of groups., AMS Chelsea Publishing, 1950 (réimpr. 2006), 2^e éd. (1^re éd. 1940), viii+314 (ISBN 0-8218-4067-3), p. 81.

• (en) « Immanent », sur PlanetMath