Généralités sur les machines électriques

Soit un circuit magnétique entouré par un bobinage comportant N spires alimenté par une tension ${\displaystyle u\,}$. On note ${\displaystyle \varphi \,}$ le flux par spire et ${\displaystyle \Phi =N\varphi \,}$ le flux total embrassé par la bobine.

On peut faire le schéma électrique équivalent suivant avec une résistance R qui symbolise les pertes dans les câbles et une fem ${\displaystyle e={d\Phi \over dt}\,}$ voir Loi de Lenz.

donc on peut écrire :

${\displaystyle u=Ri+{d\Phi \over dt}\,}$

En multipliant cette équation par ${\displaystyle idt\,}$ on obtient :

${\displaystyle u.i.dt=R.i^{2}.dt+N.i.d\varphi \,}$

Donc on alimente un circuit magnétique avec une tension u, le circuit consomme une puissance We, on obtient de la chaleur W_th (les câbles chauffent) et le reste est de l'énergie magnétique. donc ${\displaystyle dW_{e}=dW_{th}+dW_{m}\,}$

Reprenons la formule plus haut ${\displaystyle u.i.dt=R.i^{2}.dt+N.i.d\varphi \,}$ On peut identifier ${\displaystyle dW_{e}=u.i.dt\,}$ la puissance consommée et ${\displaystyle dW_{th}=R.i^{2}.dt\,}$ les pertes thermiques.

Par identification on en déduit que ${\displaystyle dW_{m}=Nid\varphi \,}$. Donc :

${\displaystyle W_{m}=\int {Nid\varphi }\,}$

Si on considère que le circuit est indéformable alors ${\displaystyle dS=0\,}$ avec ${\displaystyle S\,}$ = surface délimitée par le circuit.

${\displaystyle \varphi =B.S\Rightarrow d\varphi =S.dB+dS.B\Rightarrow dW_{m}=N.i.S.dB\,}$

${\displaystyle Ni=\int {H.dl}=Hl}$

donc on en déduit ${\displaystyle dW_{m}=H.l.S.dB=H.dB.V\,}$ avec ${\displaystyle V=l.S=\,}$Volume

donc ${\displaystyle W_{m}=\int {H.dB.V}}$

Cas linéaire : On considère que le matériau est non saturé.

donc ${\displaystyle \Phi =Li\,}$ et ${\displaystyle B=\mu .H\,}$

${\displaystyle W_{m}={\frac {1}{2}}.\Phi .i\,}$ si ${\displaystyle \Phi =L.i\,}$ alors ${\displaystyle W_{m}={\frac {1}{2}}.L.i^{2}}$

${\displaystyle {\frac {W_{m}}{V}}={\frac {1}{2}}.B.H={\frac {1}{2}}.\mu .H^{2}={\frac {B^{2}}{2\mu }}}$

on pose ${\displaystyle W_{m}+W'_{m}=\Phi .i=N.\varphi .i\,}$ avec :

• ${\displaystyle W_{m}\,}$= énergie magnétique
• ${\displaystyle W'_{m}\,}$= co-énergie

dans le cas linéaire = ${\displaystyle W_{m}=W'_{m}=\Phi .i/2\,}$

Comme le circuit est en mouvement, on a de l'énergie mécanique en plus de l'énergie thermique et l'énergie magnétique.

Donc : ${\displaystyle dW_{e}=dW_{th}+dW_{meca}+dW_{m}\,}$, avec :

• ${\displaystyle dW_{e}=u.i.dt=(Ri+N{\frac {d\varphi }{dt}}).i.dt=R.i^{2}.dt+N.i.d\varphi \,}$
• ${\displaystyle dWth=R.i^{2}.dt\,}$
• ${\displaystyle dW_{meca}=F.dx\,}$ (déplacement linéaire) ou ${\displaystyle dW_{meca}=C.d\theta \,}$ (rotation)

De plus on néglige les pertes fer et les frottements.

donc on obtient :

${\displaystyle R.i.dt+N.i.d\varphi =Fdx+dW_{m}\,}$

${\displaystyle F=(-{\frac {dW_{m}}{dt}})\varphi =cste\,}$

comme ${\displaystyle W_{n}+W'_{m}=\varphi .N.i\,}$