Formule de Cauchy pour l'intégration successive

Soit f une fonction réelle continue. D'après le premier théorème fondamental de l'analyse, une primitive n-ième de f est :

${\displaystyle x\mapsto \int _{a}^{x}\int _{a}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{a}^{\sigma _{n-1}}f(\sigma _{n})\,\mathrm {d} \sigma _{n}\cdots \,\mathrm {d} \sigma _{2}\,\mathrm {d} \sigma _{1}}$.

Sa version condensée en une seule intégrale est :

${\displaystyle f^{[n]}(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}\left(x-y\right)^{n-1}f(y)\,\mathrm {d} y}$.

Une preuve peut être donnée par récurrence. Pour l'initialisation (n = 1), il n'y a rien à démontrer car les deux expressions ci-dessus coïncident.

Quelques calculs (Beardon 2000) nous amènent à :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f^{[n]}(x)=f^{[n-1]}(x)}$.

De plus, f ^[n] s'annule en a. Par hypothèse de récurrence, elle est donc bien la primitive n-ième de f spécifiée initialement.

La formule de Cauchy se généralise aux paramètres non entiers par l'intégrale de Riemann-Liouville, de ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ aux complexes ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} ,\ \Re (\alpha )>0}$, avec :

${\displaystyle f^{[\alpha ]}(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{x}\left(x-y\right)^{\alpha -1}f(y)\,\mathrm {d} y}$

avec Γ la fonction Gamma d'Euler. Les deux formules coïncident sur la demi-droite des réels positifs.

On peut étendre la formule de Cauchy et l'intégrale de Riemann-Liouville à un espace de dimension arbitraire par le potentiel de Riesz (en).

En analyse fractionnaire, ces formules peuvent être utilisées pour construire un opérateur intégro-différentiel, qui permet de dériver ou intégrant à un ordre fractionnaire. La dérivation à un ordre fractionnel peut être réaliser en intégrant d'abord à un ordre fractionnel, puis en dérivant le résultat.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Cauchy formula for repeated integration » (voir la liste des auteurs), dont les deux références étaient :
  • (en) Gerald Folland (en), Advanced Calculus, Prentice Hall, 2002, 461 p. (ISBN 978-0-13-065265-2), p. 193 ;
  • (en) Alan Beardon, « Fractional calculus II », université de Cambridge, 2000.