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Formule de Cauchy pour l'intégration successive

La formule de Cauchy pour l'intégration successive, énoncée par Augustin Louis Cauchy, permet de condenser n intégrations en une seule. Elle est notablement généralisée en analyse fractionnaire.

Cas scalaire

Soit f une fonction réelle continue. D'après le premier théorème fondamental de l'analyse, une primitive n-ième de f est :

.

Sa version condensée en une seule intégrale est :

.

Une preuve peut être donnée par récurrence. Pour l'initialisation (n = 1), il n'y a rien à démontrer car les deux expressions ci-dessus coïncident.

Quelques calculs (Beardon 2000) nous amènent à :

.

De plus, f [n] s'annule en a. Par hypothèse de récurrence, elle est donc bien la primitive n-ième de f spécifiée initialement.

Généralisations

La formule de Cauchy se généralise aux paramètres non entiers par l'intégrale de Riemann-Liouville, de aux complexes , avec :

avec Γ la fonction Gamma d'Euler. Les deux formules coïncident sur la demi-droite des réels positifs.

On peut étendre la formule de Cauchy et l'intégrale de Riemann-Liouville à un espace de dimension arbitraire par le potentiel de Riesz (en).

Applications

En analyse fractionnaire, ces formules peuvent être utilisées pour construire un opérateur intégro-différentiel, qui permet de dériver ou intégrant à un ordre fractionnaire. La dérivation à un ordre fractionnel peut être réaliser en intégrant d'abord à un ordre fractionnel, puis en dérivant le résultat.

Références

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