Formulaire de mécanique

Cinématique : le rayon vecteur et ses dérivées successives

En coordonnées cartésiennes

{\boldsymbol {r}}=x{\boldsymbol {u}}_{x}+y{\boldsymbol {u}}_{y}+z{\boldsymbol {u}}_{z}

La vitesse du point situé en r s'écrit

{\boldsymbol {v}}({\boldsymbol {r}})={\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {r}}}{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}_{x}+{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}_{y}+{\frac {{\text{d}}z}{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}_{z}

et l'accélération

{\boldsymbol {a}}({\boldsymbol {r}})={\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {v}}}{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}^{2}{\boldsymbol {r}}}{{\text{d}}t^{2}}}={\frac {{\text{d}}^{2}x}{{\text{d}}t^{2}}}{\boldsymbol {u}}_{x}+{\frac {{\text{d}}^{2}y}{{\text{d}}t^{2}}}{\boldsymbol {u}}_{y}+{\frac {{\text{d}}^{2}z}{{\text{d}}t^{2}}}{\boldsymbol {u}}_{z}

En coordonnées cylindriques

{\boldsymbol {r}}=\rho {\boldsymbol {u}}_{\rho }+z{\boldsymbol {u}}_{z}

{\boldsymbol {v}}={\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {r}}}{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}\rho }{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}_{\rho }+\rho {\frac {{\text{d}}\varphi }{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}_{\varphi }+{\frac {{\text{d}}z}{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}_{z}

{\boldsymbol {a}}={\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {v}}}{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}^{2}{\boldsymbol {r}}}{{\text{d}}t^{2}}}=\left({\frac {{\text{d}}^{2}\rho }{{\text{d}}t^{2}}}-\rho \left({\frac {{\text{d}}\varphi }{{\text{d}}t}}\right)^{2}\right){\boldsymbol {u}}_{\rho }+\left(2{\frac {{\text{d}}\rho }{{\text{d}}t}}{\frac {{\text{d}}\varphi }{{\text{d}}t}}+\rho {\frac {{\text{d}}^{2}\varphi }{{\text{d}}t^{2}}}\right){\boldsymbol {u}}_{\varphi }+{\frac {{\text{d}}^{2}z}{{\text{d}}t^{2}}}{\boldsymbol {u}}_{z}

Ces formules sont basées sur le fait que la dérivée temporelle de deux des vecteurs de base est non nulle :

{\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {u}}_{\rho }}{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}\varphi }{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}_{\varphi }

{\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {u}}_{\varphi }}{{\text{d}}t}}=-{\frac {{\text{d}}\varphi }{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}_{\rho }

En coordonnées sphériques

{\boldsymbol {r}}=r{\boldsymbol {u}}_{r}

{\boldsymbol {v}}={\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {r}}}{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}r}{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}_{r}+r{\frac {{\text{d}}\theta }{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}_{\theta }+r{\frac {{\text{d}}\varphi }{{\text{d}}t}}\sin \theta {\boldsymbol {u}}_{\varphi }

;

{\boldsymbol {a}}={\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {v}}}{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}^{2}{\boldsymbol {r}}}{{\text{d}}t^{2}}}=a_{r}{\boldsymbol {u}}_{r}+a_{\theta }{\boldsymbol {u}}_{\theta }+a_{\varphi }{\boldsymbol {u}}_{\varphi }

avec:

a_{r}=\left({\frac {{\text{d}}^{2}r}{{\text{d}}t^{2}}}-r\left({\frac {{\text{d}}\theta }{{\text{d}}t}}\right)^{2}+r\left({\frac {{\text{d}}\varphi }{{\text{d}}t}}\right)^{2}\sin ^{2}\theta \right)

a_{\theta }=\left(r{\frac {{\text{d}}^{2}\theta }{{\text{d}}t^{2}}}+2{\frac {{\text{d}}r}{{\text{d}}t}}{\frac {{\text{d}}\theta }{{\text{d}}t}}-r\left({\frac {{\text{d}}\varphi }{{\text{d}}t}}\right)^{2}\sin \theta \cos \theta \right)

a_{\varphi }=\left(r{\frac {{\text{d}}^{2}\varphi }{{\text{d}}t^{2}}}\sin \theta +2{\frac {{\text{d}}r}{{\text{d}}t}}{\frac {{\text{d}}\varphi }{{\text{d}}t}}\sin \theta +2r{\frac {{\text{d}}\varphi }{{\text{d}}t}}{\frac {{\text{d}}\theta }{{\text{d}}t}}\cos \theta \right)

Changement de référentiel

Soit un point de rayon vecteur r dans un référentiel ${\mathcal {R}}$ . Soit un autre référentiel, ${\mathcal {R}}^{'}$ , dont l'origine est située au rayon vecteur s dans ${\mathcal {R}}$ . Le rayon vecteur du point, déterminé dans ${\mathcal {R}}'$ est alors

{\boldsymbol {r}}'={\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}

Les vitesses du point peuvent être mesurées dans ${\mathcal {R}}$ ou dans ${\mathcal {R}}'$ . Elles sont notées avec l'indice ${\mathcal {R}}$ ou ${\mathcal {R}}'$ , de même que les accélérations.

Vitesse d'entraînement :
${\boldsymbol {v}}_{\rm {e}}={\dot {\boldsymbol {s}}}_{\mathcal {R}}+{\boldsymbol {\Omega }}\wedge {\boldsymbol {r}}'$
Loi de composition des vitesses :
${\boldsymbol {v}}_{\mathcal {R}}={\boldsymbol {v}}'_{{\mathcal {R}}'}+{\boldsymbol {v}}_{\rm {e}}$
Accélération d'entraînement :
${\boldsymbol {a}}_{\rm {e}}={\ddot {\boldsymbol {s}}}_{\mathcal {R}}+{\dot {\boldsymbol {\Omega }}}\wedge {\boldsymbol {r}}'+{\boldsymbol {\Omega }}\wedge ({\boldsymbol {\Omega }}\wedge {\boldsymbol {r}}')$
Accélération de Coriolis :
${\boldsymbol {a}}_{\rm {c}}=2{\boldsymbol {\Omega }}\wedge {\dot {\boldsymbol {r}}}'_{{\mathcal {R}}'}$
Loi de composition des accélérations :
${\boldsymbol {a}}_{\mathcal {R}}={\boldsymbol {a}}'_{{\mathcal {R}}'}+{\boldsymbol {a}}_{\rm {e}}+{\boldsymbol {a}}_{\rm {c}}$

Dynamique

Quelques forces

Poids :
${\boldsymbol {P}}=m{\boldsymbol {g}}$
Interaction électromagnétique entre deux particules séparées par une distance d:
${\boldsymbol {F}}_{1\rightarrow 2}={\frac {q_{1}q_{2}}{4d^{2}\pi \varepsilon _{0}}}$
Interaction gravitationnelle entre deux corps séparés par une distance d:
${\boldsymbol {F}}_{1\rightarrow 2}=-Gm_{1}m_{2}{\frac {1}{d^{2}}}$
Tension d'un ressort de raideur k et d'allongement u :
${\boldsymbol {F}}=-k{\boldsymbol {u}}$
Frottement fluide :
${\boldsymbol {F}}=-\lambda {\boldsymbol {v}}$
Force d'inertie d'entraînement :
${\boldsymbol {f}}_{\rm {i_{e}}}=-m{\boldsymbol {a}}_{e}$
Force d'inertie de Coriolis:
${\boldsymbol {f}}_{\rm {i_{c}}}=-m{\boldsymbol {a}}_{c}$

Principe fondamental de la dynamique

Vecteur quantité de mouvement :
${\boldsymbol {p}}=m{\boldsymbol {v}}$ (en général)
Principe fondamental de la dynamique :
${\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {p}}}{{\text{d}}t}}=\sum {\boldsymbol {F}}\;+{\boldsymbol {f}}_{\rm {i_{e}}}+{\boldsymbol {f}}_{\rm {i_{c}}}$
Principe des actions réciproques : pour deux corps A et B,
${\boldsymbol {F}}_{A\rightarrow B}=-{\boldsymbol {F}}_{B\rightarrow A}$

Aspect énergétique

Travail élémentaire d'une force F lors d'un déplacement dr:
$\delta W={\boldsymbol {F}}\cdot {\text{d}}{\boldsymbol {r}}$
Travail le long d'un chemin $\Gamma _{AB}$ :
$\displaystyle W_{A\rightarrow B}=\int _{{\boldsymbol {r}}\in \Gamma _{AB}}\delta W({\boldsymbol {r}})=\int _{{\boldsymbol {r}}\in \Gamma _{AB}}{\boldsymbol {F}}\cdot {\text{d}}{\boldsymbol {l}}({\boldsymbol {r}})$
Puissance :
${\mathcal {P}}=\displaystyle {\frac {\delta W}{{\text{d}}t}}$
On peut aussi définir la puissance comme étant le produit scalaire de la force appliquée au point M avec la vitesse du point :
${\mathcal {P}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {v}}$
Énergie cinétique d'un point matériel :
$E_{\rm {c}}=\displaystyle {\frac {1}{2}}m|{\boldsymbol {v}}|^{2}$
Théorème de l'énergie cinétique :
$\displaystyle \Delta E_{\rm {c}}=\sum W({\boldsymbol {F}})\;+W({\boldsymbol {f}}_{\rm {i_{e}}})+W({\boldsymbol {f}}_{\rm {i_{c}}})$
Énergie mécanique :
$E_{\rm {m}}=E_{\rm {c}}+E_{\rm {p}}$

Énergie potentielle pour quelques forces conservatives

Chacune de ces énergies est définie à une constante près

Pesanteur :
$E_{\rm {p}}=mgz$ ..., ceci pour ${\boldsymbol {P}}=-mg{\boldsymbol {e}}_{z}$
Ressort :
$E_{\rm {p}}={\frac {1}{2}}k|{\boldsymbol {u}}|^{2}$
Force de Coulomb :
$E_{\rm {p}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q_{1}q_{2}}{|{\boldsymbol {r}}_{1}-{\boldsymbol {r}}_{2}|}}$
Gravitation :
$E_{\rm {p}}=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{|{\boldsymbol {r}}_{1}-{\boldsymbol {r}}_{2}|}}$

Notion de Moment

Moment cinétique d'un point r par rapport à un point r' :
${\boldsymbol {L}}_{{\boldsymbol {r}}'}({\boldsymbol {r}})=m({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}')\wedge {\boldsymbol {v}}({\boldsymbol {r}})$
Par rapport à un autre point r'' :
${\boldsymbol {L}}_{{\boldsymbol {r}}''}({\boldsymbol {r}})=({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'')\wedge m{\boldsymbol {v}}({\boldsymbol {r}})={\boldsymbol {L}}_{{\boldsymbol {r}}'}({\boldsymbol {r}})+m({\boldsymbol {r}}'-{\boldsymbol {r}}'')\wedge {\boldsymbol {v}}({\boldsymbol {r}})$
Moment d'une force F au point de rayon vecteur r' :
${\boldsymbol {M}}_{{\boldsymbol {r}}'}=({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}')\wedge {\boldsymbol {F}}$
Par rapport à un autre point r'' :
${\boldsymbol {M}}_{{\boldsymbol {r}}''}({\boldsymbol {r}})={\boldsymbol {M}}_{{\boldsymbol {r}}'}({\boldsymbol {r}})+({\boldsymbol {r}}'-{\boldsymbol {r}}'')\wedge {\boldsymbol {F}}$
Théorème du moment cinétique :
${\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {L}}_{{\boldsymbol {r}}'}}{{\text{d}}t}}=\sum {\boldsymbol {M}}_{{\boldsymbol {r}}'}({\boldsymbol {F}})\;+{\boldsymbol {M}}_{{\boldsymbol {r}}'}({\boldsymbol {f}}_{\rm {i_{e}}})+{\boldsymbol {M}}_{{\boldsymbol {r}}'}({\boldsymbol {f}}_{\rm {i_{c}}})$ .

Oscillateur

Oscillateur harmonique (sans amortissement)

Équation différentielle de la forme :
${\frac {{\text{d}}^{2}u}{{\text{d}}t^{2}}}+\omega _{0}^{2}u=0$ .
Pulsation propre :
$\omega _{0}^{2}={\frac {k}{m}}$
Période propre:
$T_{0}=\displaystyle {\frac {2\pi }{\omega _{0}}}$
Solution sous la forme :
$u(t)=A\cos(\omega _{0}t)+B\sin(\omega _{0}t)$ .

Les constantes A et B sont déterminées par les conditions initiales.

Oscillateur avec facteur d'amortissement λ

Équation différentielle de la forme :
${\frac {{\text{d}}^{2}u}{{\text{d}}t^{2}}}+2\lambda {\frac {{\text{d}}u}{{\text{d}}t}}+\omega _{0}^{2}u=0$
Trois cas selon la valeur du discriminant de l'équation caractéristique :
$\Delta =4(\lambda ^{2}-\omega _{0}^{2})$
- $\Delta <0$ , soit $\lambda <\omega _{0}$ , alors
  $x(t)=e^{-\lambda t}\left[A\cos(\Omega t)+B\sin(\Omega t)\right]$ (régime pseudo-périodique)
  
  Pseudo-pulsation :
  
  $\Omega ={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\lambda ^{2}}}$ ;
  
  Pseudo-période :
  
  $T=\displaystyle {\frac {2\pi }{\Omega }}$
- $\Delta =0$ , soit $\lambda =\omega _{0}$ , alors
  $x(t)=(At+B)e^{-\lambda t}$ (régime critique)
- $\Delta >0$ , soit $\lambda >\omega _{0}$ , alors
  $x(t)=e^{-\lambda t}(Ae^{{\sqrt {\lambda ^{2}-\omega _{0}^{2}}}.t}+Be^{-{\sqrt {\lambda ^{2}-\omega _{0}^{2}}}.t})$ (régime apériodique)
Dans chaque cas, les constantes A et B sont déterminées par les conditions initiales.

Articles connexes

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