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Formulaire de mécanique

Cinématique : le rayon vecteur et ses dérivées successives

En coordonnées cartésiennes

La vitesse du point situé en r s'écrit

,

et l'accélération

.

En coordonnées cylindriques

.
.

Ces formules sont basées sur le fait que la dérivée temporelle de deux des vecteurs de base est non nulle :

,
.

En coordonnées sphériques

,
;
,

avec:

,
.

Changement de référentiel

Soit un point de rayon vecteur r dans un référentiel . Soit un autre référentiel, , dont l'origine est située au rayon vecteur s dans . Le rayon vecteur du point, déterminé dans est alors

.

Les vitesses du point peuvent être mesurées dans ou dans . Elles sont notées avec l'indice ou , de même que les accélérations.

  • Vitesse d'entraînement :
  • Loi de composition des vitesses :
  • Accélération d'entraînement :
  • Accélération de Coriolis :
  • Loi de composition des accélérations :

Dynamique

Quelques forces

  • Poids :
  • Interaction électromagnétique entre deux particules séparées par une distance d:
  • Interaction gravitationnelle entre deux corps séparés par une distance d:
  • Tension d'un ressort de raideur k et d'allongement u :
  • Frottement fluide :
  • Force d'inertie d'entraînement :
  • Force d'inertie de Coriolis:

Principe fondamental de la dynamique

  • Vecteur quantité de mouvement :
    (en général)
  • Principe fondamental de la dynamique :
  • Principe des actions réciproques : pour deux corps A et B,

Aspect énergétique

  • Travail élémentaire d'une force F lors d'un déplacement dr:
  • Travail le long d'un chemin :
  • Puissance :
  • On peut aussi définir la puissance comme étant le produit scalaire de la force appliquée au point M avec la vitesse du point :
  • Énergie cinétique d'un point matériel :
  • Théorème de l'énergie cinétique :
  • Énergie mécanique :

Énergie potentielle pour quelques forces conservatives

Chacune de ces énergies est définie à une constante près

  • Pesanteur :
    ..., ceci pour
  • Ressort :
  • Force de Coulomb :
  • Gravitation :

Notion de Moment

  • Moment cinétique d'un point r par rapport à un point r' :
  • Par rapport à un autre point r'' :
  • Moment d'une force F au point de rayon vecteur r' :
  • Par rapport à un autre point r'' :
  • Théorème du moment cinétique :
    .

Oscillateur


Oscillateur harmonique (sans amortissement)

  • Équation différentielle de la forme :
    .
  • Pulsation propre :
  • Période propre:
  • Solution sous la forme :
    .

Les constantes A et B sont déterminées par les conditions initiales.

Oscillateur avec facteur d'amortissement λ

  • Équation différentielle de la forme :
  • Trois cas selon la valeur du discriminant de l'équation caractéristique :
    • , soit , alors
      (régime pseudo-périodique)
      Pseudo-pulsation :
      ;
      Pseudo-période :
    • , soit , alors
      (régime critique)
    • , soit , alors
      (régime apériodique)
  • Dans chaque cas, les constantes A et B sont déterminées par les conditions initiales.

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