Forme de Maurer-Cartan

Soient :

• ${\displaystyle G}$, un groupe de Lie ;
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}:=\mathrm {Lie} (G):=T_{e}G}$, l'algèbre de Lie de ${\displaystyle G}$ ;
• ${\displaystyle L:G\to \mathrm {Diff} (G);g\mapsto L_{g}}$, l'action à gauche ${\displaystyle L_{g_{1}}(g_{2})=g_{1}g_{2}}$ de ${\displaystyle G}$ sur lui-même ;

Définition

La 1-forme de Maurer-Cartan sur ${\displaystyle G}$ est la 1-forme différentielle à valeurs en ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ définie en tout ${\displaystyle g\in G}$ et sur tout ${\displaystyle v\in T_{g}G}$ par :

${\displaystyle \theta |_{g}(v):=(L_{g}^{-1})_{*}(v)\in T_{e}G={\mathfrak {g}}}$.

Remarque

La 1-forme de Maurer-Cartan ${\displaystyle \theta \in \Omega ^{1}(G;{\mathfrak {g}})}$ vérifie l'équation structurelle de Maurer-Cartan :

${\displaystyle 0=d\theta +{\frac {1}{2}}[\theta \wedge \theta ]}$.

(en) Shoshichi Kobayashi (en) et Katsumi Nomizu (en), Foundations of Differential Geometry, 1963