Formation de classes

La donnée d'un groupe de Galois absolu d'un corps local, de ses sous-groupes d'indice fini, et de l'action de ce groupe sur le groupe multiplicatif de la clôture séparable du corps considéré (la clôture algébrique dans le cas d'un corps de nombres p-adiques, puisque le fait d'être en caractéristique 0 assure la séparabilité), est l'exemple classique de formation, celui à partir duquel l'axiomatique a été bâtie. Dans le paragraphe qui suit, on indique entre parenthèses l'interprétation dans cet exemple des diverses propriétés requises.

Une formation est un groupe topologique G avec un G-module (en) topologique A. Le groupe G est donné muni d'une famille de sous-groupes d'indices finis (destinés à correspondre aux extensions séparables finies du corps considéré via la correspondance de Galois), dont on suppose qu'elle est stable par intersection finie (un compositum fini d'extensions finies est une extension finie), que tout sous-groupe contenant un élément de la famille est dans la famille (toute sous-extension d'une extension finie est finie), et qu'elle est globalement stable par conjugaison par des éléments de G (l'image par l'action d'un élément du groupe de Galois absolu d'une extension finie, non nécessairement galoisienne, est à nouveau une extension finie).

On se donne ensuite un G-module A, et on stipule la condition suivante sur l'action de G sur A : pour tout point a de A, l'ensemble des transformations de G qui laissent a fixe est un élément de la famille de sous-groupes qu'on s'est fixée (l'extension engendrée par un élément est une extension finie).

La donnée de G, de la famille de sous-groupes, et du module A, vérifiant ces conditions est appelée « formation ».

Un étage F/E d'une formation est une paire de sous-groupes ouverts E, F tels que F est un sous-groupe de E. Toujours dans l'esprit de mimer la situation de notre exemple fondamental, on s'autorisera à parler d'extension ; dans ce sens, notons qu'alors que F est inclus dans E en tant que sous-groupe, on dit qu'en tant qu'extension, F est au contraire au-dessus de E, dans l'objectif de récupérer la décroissance de la correspondance de Galois. Une extension est appelée une extension normale ou extension galoisienne si F est un sous-groupe normal de E, et une extension cyclique si de plus, le groupe quotient est cyclique. Le degré de l'extension sera le cardinal du groupe quotient E/F. Si E est un sous-groupe de G, alors A^E est défini comme étant les éléments de A fixés par E. Nous écrivons

Hⁿ(F/E)

pour le groupe de cohomologie de Tate (en) Hⁿ(F/E, A^F) toutes les fois que F/E est une extension normale. Dans les applications, G est habituellement le groupe de Galois absolu, et en particulier est profini, et les sous-groupes ouverts par conséquent correspondent aux extensions finies du corps contenu dans une certaine clôture séparable.

Pour parler de formation de classes, on impose les conditions suivantes : pour toute extension galoisienne, ${\displaystyle H^{1}(Gal(F/E),A_{F})=0}$, ce qui est vrai dans notre exemple fondamental par le théorème 90 de Hilbert, d'une part ; si on ne s'impose que cette condition, on parlera parfois de formation de corps. On suppose d'autre part l'existence pour chaque extension abélienne F/E d'un morphisme de groupes :

${\displaystyle inv_{E}:H^{2}(Gal(F/E),A_{F})\rightarrow \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$

injectif, à valeurs dans l'unique sous-groupe d'ordre [F:E] du groupe d'arrivée. Chaque groupe H²(F/E) est alors un groupe cyclique d'ordre [F:E]. L'antécédent du générateur canonique 1/[F:E] de Q/Z est appelé classe fondamentale, et noté u_F/E : c'est un générateur de ${\displaystyle H^{2}(Gal(F/E),A_{F})}$. On demande enfin que soit vérifiée la propriété fonctorielle :

${\displaystyle inv_{E'}\circ Res_{E/E'}=[E':E]inv_{E}}$

pour toute extension finie E'/E, où Res est l'application restriction apparaissant en cohomologie galoisienne ; ceci permet d'énoncer que la restriction d'une classe fondamentale est encore une classe fondamentale.

Dans l'exemple classique, ce morphisme est construit en considérant le groupe H² comme un groupe de Brauer.