Formalisme de Keldysh

Quatre types de fonctions de Green hors équilibre sont introduites (pour des fermions):

${\displaystyle G^{++}(x_{1},t_{1};x_{2},t_{2})=-i\langle T\psi (x_{1},t_{1})\psi ^{\dagger }(x_{2},t_{2})\rangle }$

${\displaystyle G^{-+}(x_{1},t_{1};x_{2},t_{2})=-i\langle \psi (x_{1},t_{1})\psi ^{\dagger }(x_{2},t_{2})\rangle =G^{>}(x_{1},t_{1};x_{2},t_{2})}$

${\displaystyle G^{+-}(x_{1},t_{1};x_{2},t_{2})=i\langle \psi ^{\dagger }(x_{2},t_{2})\psi (x_{1},t_{1})\rangle =G^{<}(x_{1},t_{1};x_{2},t_{2})}$

${\displaystyle G^{--}(x_{1},t_{1};x_{2},t_{2})=-i\langle {\tilde {T}}\psi (x_{1},t_{1})\psi ^{\dagger }(x_{2},t_{2})\rangle }$

(où ${\displaystyle \psi ,\psi ^{\dagger }}$ sont des opérateurs de création et d'annihilation, ${\displaystyle T}$ désigne le produit chronologique et ${\displaystyle {\tilde {T}}}$ désigne le produit antichronologique), au lieu d'une seule fonction de Green dans la théorie d'équilibre. Ces quatre fonctions de Green forment une matrice[3] ${\displaystyle {\hat {G}}}$, qui remplace la fonction de Green scalaire dans les lignes des diagrammes de Feynman. Les observables physiques[3] comme la densité de particules ${\displaystyle \rho (x,t)}$ ou le courant ${\displaystyle {\vec {j}}(x,t)}$ s'expriment à l'aide de la fonction ${\displaystyle G^{<}}$:

${\displaystyle \rho (x,t)=\lim _{x'\to x \atop t'\to t}-iG^{<}(x,t;x',t')}$

${\displaystyle {\vec {j}}(x,t)=-{\frac {\hbar }{2m}}\lim _{x'\to x \atop t'\to t}\left[\nabla _{x'}G^{<}(x,t;x',t')-\nabla _{x}G^{<}(x,t;x',t')\right]}$

Les termes d'interaction (sommets des diagrammes de Feynman) acquièrent aussi une structure matricielle[8]. En particulier, un terme d'énergie potentielle est représenté par une matrice 2×2 diagonale avec +1 sur la première ligne et -1 sur la deuxième ligne multipliant le potentiel.

Les fonctions de Green hors équilibre peuvent être obtenues en considérant un contour[3] ${\displaystyle C=C_{+}\cup C_{-}}$partant de ${\displaystyle -\infty }$ jusqu'à un temps ${\displaystyle T>\max(t_{1},t_{2})}$ puis retournant en ${\displaystyle -\infty }$ et en définissant un produit chronologique ${\displaystyle T_{C}}$ sur ce contour tel que la partie de ${\displaystyle C_{+}=]-\infty +i0_{+},T]}$ se situe avant la partie ${\displaystyle C_{-}=]T,-\infty +i0_{-}]}$. Lorsque ${\displaystyle t_{1},t_{2}\in C_{+}}$ ${\displaystyle T_{C}}$ est le produit chronologique, ${\displaystyle t_{1},t_{2}\in C_{-}}$

${\displaystyle T_{C}}$devient le produit antichronologique. C'est pourquoi on rencontre parfois l'expression[9] closed-time path formalism (formalisme du contour temporel fermé) utilisée comme synonyme du formalisme de Keldysh.

Les fonctions de Green ${\displaystyle G^{\pm \pm }}$étant linéairement dépendantes ${\displaystyle G^{++}+G^{--}=G^{+-}+G^{-+}}$et il est possible au moyen d'une rotation[3] de se ramener à la forme:

${\displaystyle {\hat {G}}=\left({\begin{array}{cc}G^{R}&G^{K}\\0&G^{A}\end{array}}\right)}$

où

${\displaystyle G^{R}=G^{++}-G^{+-}=-i\Theta (t_{1}-t_{2})\langle \{\psi (x_{1},t_{1}),\psi ^{\dagger }(x_{2},t_{1})\}\rangle }$est la fonction de Green retardée, ${\displaystyle \Theta (t)}$ est la fonction de Heaviside,

${\displaystyle G^{A}=G^{++}-G^{-+}=i\Theta (t_{2}-t_{1})\langle \{\psi (x_{1},t_{1}),\psi ^{\dagger }(x_{2},t_{1})\}\rangle }$est la fonction de Green avancée,

${\displaystyle G^{K}=G^{+-}+G^{-+}=-i\langle [\psi (x_{1},t_{1}),\psi ^{\dagger }(x_{2},t_{1})]\rangle }$ est la fonction de Green de Keldysh qui sert maintenant à exprimer les valeurs moyennes des observables physiques. Dans ces formules le symbole ${\displaystyle \{A,B\}=AB+BA}$ désigne l'anti-commutateur, et ${\displaystyle [A,B]=AB-BA}$ le commutateur. Dans cette représentation, les termes d'énergie potentielle sont représentés par une matrice identité multipliant le potentiel.

Comme dans le cas d'équilibre, il est possible de sommer les parties irréductibles de la série donnant la fonction de Green pour obtenir l'équation de Dyson[3]

${\displaystyle (G_{0}^{-1}-\Sigma ){\hat {G}}(x_{1},t_{1};x_{2},t_{2})=\mathrm {Id} \delta (x_{1}-x_{2})\delta (t_{1}-t_{2})}$,

où ${\displaystyle \mathrm {Id} }$ est la matrice identité. L'opérateur self énergie ${\displaystyle \Sigma =\left({\begin{array}{cc}\Sigma ^{R}&\Sigma ^{K}\\0&\Sigma ^{A}\\\end{array}}\right)}$possède la même structure matricielle que la fonction de Green. L'équation de Dyson constitue un point de départ pour l'obtention d'équations cinétiques[3].

Ce formalisme peut aussi être décrit en termes d'intégrales de chemin[10], ce qui permet de le relier à la méthode de Martin-Siggia-Rose pour les systèmes classiques hors d'équilibre.