Fonction partielle
En mathématiques, une fonction partielle (quelquefois appelée simplement fonction) sur un ensemble donné E est une application définie sur une partie de celui-ci, appelé ensemble de définition (ou domaine de définition) de la fonction partielle.
Cette notion apparaît en particulier en théorie de la calculabilité, qui s'intéresse aux fonctions partielles récursives : celles-ci sont définies sur une partie de N, l'ensemble des entiers naturels, ou plus généralement de Np, et l'ensemble de définition d'une fonction partielle récursive ne peut éventuellement pas se définir a priori, c'est-à -dire autrement qu'en indiquant que ce sont les entiers (ou tuples d'entiers) pour lesquels le calcul qui permet de définir la fonction aboutit.
Définitions
Une fonction partielle d'un ensemble E dans un ensemble F est un couple (Df, f) constitué d'un sous-ensemble Df de E et d'une application de Df dans F. On dit que f est définie en x ∈ E quand x ∈ Df, et Df est appelé ensemble de définition de f[1].
Un exemple de fonction partielle est la fonction nulle part définie, celle dont le domaine de définition est vide.
Une fonction f de E dans F est dite totale quand f est partout définie sur E, c'est-à -dire que E = Df[2].
Notes et références
- (en) Yuri Manin, A Course in Mathematical Logic, Neal Koblitz (trans.), New York, Springer-Verlag, 1977, p. 178.
- (en) P. Odifreddi, Classical Recursion Theory, North-Holland, 1989 (ISBN 0-44487-295-7), p. 129, dans le cas des fonctions partielles récursives.