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Fonction omega de Wright

En mathématiques, la fonction omega de Wright ou fonction de Wright[note 1] dénotée ω, est définie à partir de la fonction W de Lambert par :

La fonction omega de Wright le long de l'axe réel.

Utilisation

Une des principales applications de cette fonction est dans la résolution de l'équation z = ln(z), comme l'unique solution est donnée par z = ei π ω.

La valeur y = ω(z) est l'unique solution, quand pour x 1, de l'équation y + ln(y) = z. A l'exception de ces deux rayons, la fonction omega de Wright est continue, et même analytique.

Propriétés

La fonction omega de Wright satisfait la relation Wk(z) = ω(ln(z) + 2 π i k).

Elle vérifie aussi l'équation différentielle

partout où ω est analytique (ce qui peut se voir avec une séparation de variables et en utilisant l'équation ω + ln(ω) = z), et par conséquent sa primitive peut s'écrire :

Sa série de Taylor autour du point ωa + ln(ωa) = a prend la forme :

avec

avec

désignant les nombres eulériens seconde espèce.

Valeurs spéciales

Tracés

  • Tracés de la fonction omega de Wright sur le plan complexe
  • z = Re(ω(x + i y))
    z = Re(ω(x + i y))
  • z = Im(ω(x + i y))
    z = Im(ω(x + i y))
  • ω(x + i y)
    ω(x + i y)

Notes

  1. À ne pas confondre avec la fonction de Fox-Wright (en), aussi parfois appelée fonction de Wright.

Références

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