Fonction hypergéometrique d'un argument matriciel

Soit ${\displaystyle p\geq 0}$ et ${\displaystyle q\geq 0}$ deux entiers, et ${\displaystyle X}$ une matrice carrée ${\displaystyle m\times m}$ symétrique à coefficients complexes. La fonction hypergéométrique d'un argument matriciel ${\displaystyle X}$ et de paramètre ${\displaystyle \alpha >0}$ est définie comme

${\displaystyle _{p}F_{q}^{(\alpha )}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};X)=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{\kappa \vdash k}{\frac {1}{k!}}\cdot {\frac {(a_{1})_{\kappa }^{(\alpha )}\cdots (a_{p})_{\kappa }^{(\alpha )}}{(b_{1})_{\kappa }^{(\alpha )}\cdots (b_{q})_{\kappa }^{(\alpha )}}}\cdot C_{\kappa }^{(\alpha )}(X),}$

où ${\displaystyle \kappa \vdash k}$ désigne une partition de ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle (a_{i})_{\kappa }^{(\alpha )}}$ est le symbole de Pochhammer généralisé, et ${\displaystyle C_{\kappa }^{(\alpha )}(X)}$ est la normalisation "C" de la fonction de Jack (en).

Si ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle Y}$ sont deux matrices symétriques ${\displaystyle m\times m}$ à coefficients complexes, alors la fonction hypergéométrique à deux arguments matriciels est définie comme :

${\displaystyle _{p}F_{q}^{(\alpha )}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};X,Y)=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{\kappa \vdash k}{\frac {1}{k!}}\cdot {\frac {(a_{1})_{\kappa }^{(\alpha )}\cdots (a_{p})_{\kappa }^{(\alpha )}}{(b_{1})_{\kappa }^{(\alpha )}\cdots (b_{q})_{\kappa }^{(\alpha )}}}\cdot {\frac {C_{\kappa }^{(\alpha )}(X)C_{\kappa }^{(\alpha )}(Y)}{C_{\kappa }^{(\alpha )}(I_{m})}},}$

où ${\displaystyle I_{m}}$ est la matrice d'identité de taille ${\displaystyle m}$.

Contrairement à d'autres fonctions d'argument matriciel, telles que l'exponentielle matricielle, qui produisent des valeurs matricielles, la fonction hypergéométrique de (un ou deux) arguments matriciels est scalaire.

Dans de nombreuses publications, le paramètre ${\displaystyle \alpha }$ est omis. En outre, ce paramètre possède diverses valeurs implicites selon les publications. Par exemple, dans la théorie des matrices aléatoires réelles (voir, par exemple, Muirhead, 1984), ${\displaystyle \alpha =2}$ tandis que dans d'autres contextes (par exemple, dans le cas complexe - voir Gross et Richards, 1989), ${\displaystyle \alpha =1}$. Pire, dans la théorie des matrices aléatoires, les chercheurs ont tendance à utiliser plutôt un autre paramètre appelé ${\displaystyle \beta }$ au lieu de ${\displaystyle \alpha }$ qui est utilisé en combinatoire.

Dans ce cas

${\displaystyle \alpha ={\frac {2}{\beta }}.}$

Il faut clairement identifier le paramètre utilisé et lui associer correctement une valeur selon le contexte.

En règle générale, dans les contextes impliquant de matrices aléatoires réelles, ${\displaystyle \alpha =2}$ et ${\displaystyle \beta =1}$. Dans les contextes impliquant des matrices aléatoires complexes, on a ${\displaystyle \alpha =1}$ et ${\displaystyle \beta =2}$.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hypergeometric function of a matrix argument » (voir la liste des auteurs).

• (en) K. I. Gross et D. St. P. Richards, « Total positivity, spherical series, and hypergeometric functions of matrix argument », J. Approx. Theory, vol. 59, n^o 2,‎ 1989, p. 224–246.
• (en) J. Kaneko, « Selberg Integrals and hypergeometric functions associated with Jack polynomials », SIAM Journal on Mathematical Analysis, vol. 24, n^o 4,‎ 1993, p. 1086-1110.
• (en) Plamen Koev et Alan Edelman, « The efficient evaluation of the hypergeometric function of a matrix argument », Mathematics of Computation, vol. 75, n^o 254,‎ 2006, p. 833-846.
• (en) Robb Muirhead, Aspects of Multivariate Statistical Theory, New York, John Wiley & Sons, Inc., 1984.

• Logiciel de calcul de la fonction hypergéométrique d'un argument matriciel par Plamen Koev.