Fonction de Fabius
En mathématiques, la fonction de Fabius est un exemple de fonction de classe qui n'est nulle part analytique, trouvée par Jaap Fabius (1996). Elle a également été écrit comme la transformée de Fourier de
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par BĂžrge Jessen et Aurel Winner (1935).
La fonction Fabius est définie sur l'intervalle et est donnée par la fonction de répartition de
oĂč les Οn sont des variables alĂ©atoires indĂ©pendantes uniformĂ©ment distribuĂ©es sur l'intervalle unitĂ©.
Description
Cette fonction satisfait la condition initiale , la condition de symĂ©trie pour et l' Ă©quation diffĂ©rentielle fonctionnelle pour Il s'ensuit que est monotone croissante pour avec et Il existe une extension unique de f aux nombres rĂ©els qui satisfait la mĂȘme Ă©quation diffĂ©rentielle pour tout x . Cette extension peut ĂȘtre dĂ©finie par fâ(x) = 0 pour x †0, fâ(x + 1) = 1 â fâ(x) pour 0 †x †1, et fâ(x + 2r) = âfâ(x) pour 0 †x †2r avec r un entier positif. La sĂ©quence d'intervalles dans lesquels cette fonction est positive ou nĂ©gative suit le mĂȘme schĂ©ma que la suite de Prouhet-Thue-Morse.
Valeurs
La fonction de Fabius est constante à zéro pour tous les réels négatifs et possÚde des valeurs rationnelles quand l'argument est un rationnel dyadique positif.
Notes et références
- (en) Auteur inconnu, « Arithmetic of the Fabius function », .
- (en) Auteur inconnu, « An infinitely differentiable function with compact support: Definition and properties », . (an English translation of the author's paper published in Spanish in 1982)
- (en) Alkauskas, Giedrius, Dirichlet series associated with Thue-Morse sequence, (lire en ligne).
- (ru) Rvachev, V. L. et Rvachev, V. A., Non-classical methods of the approximation theory in boundary value problems, Kiev, Naukova Dumka, .