Fonction d'Airy

La fonction d'Airy $Ai$ est une des fonctions spéciales en mathématiques, c'est-à-dire une des fonctions remarquables apparaissant fréquemment dans les calculs. Elle porte le nom de l'astronome britannique George Biddell Airy, qui l'introduisit pour ses calculs d'optique, notamment lors de l'étude de l'arc-en-ciel. La fonction d'Airy $Ai$ et la fonction $Bi$ , qu'on appelle fonction d'Airy de seconde espèce, sont des solutions de l'équation différentielle linéaire d'ordre deux

y''-xy=0\qquad \,

connue sous le nom d'équation d'Airy.

Définition

La fonction Ai est en rouge et Bi en vert.

Fonction Ai

Comparaison de la fonction

Ai

et de ses équivalents asymptotiques

La fonction d'Airy est définie en tout $x$ réel par la formule

\mathrm {Ai} (x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\cos \left({\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,\mathrm {d} t.

qui forme une intégrale semi-convergente (cela peut être prouvé par une intégration par parties). Un théorème de dérivation des intégrales à paramètres permet de montrer que $Ai$ est solution de l'équation d'Airy

y''-xy=0\,

avec pour conditions initiales

\mathrm {Ai} (0)={\frac {1}{3^{2/3}\Gamma \left({\frac {2}{3}}\right)}},\qquad \mathrm {Ai} '(0)=-{\frac {1}{3^{1/3}\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)}}.

où $Γ$ désigne la fonction Gamma d'Euler.

La fonction possède notamment un point d'inflexion en $x = 0$ . Dans le domaine $x > 0$ , $Ai(x)$ est positive, concave, et décroît exponentiellement vers 0. Dans le domaine $x < 0$ , $Ai(x)$ oscille autour de la valeur 0 avec une fréquence de plus en plus forte et une amplitude de plus en plus faible à mesure que $- x$ grandit. C'est ce que confirment les équivalents aux bornes :

\mathrm {Ai} (x)\sim _{x\longrightarrow +\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{-{\frac {2}{3}}x^{3/2}}}{2{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}\qquad \mathrm {Ai} (-x)\sim _{x\longrightarrow +\infty }{\frac {\sin({\frac {2}{3}}x^{3/2}+{\frac {1}{4}}\pi )}{{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}.

Résolution de l’équation d'Airy

L'équation d'Airy peut être résolue à l'aide de la transformée de Fourier qu'on définit comme suit :

{\hat {f}}(k)={\mathcal {F}}[f(x)]=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} kx}\mathrm {d} x.

L'inverse de la transformée de Fourier est alors donnée par :

f(x)={\mathcal {F}}^{-1}[{\hat {f}}(k)]={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(k)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} kx}\mathrm {d} k.

En utilisant cette définition de la transformée de Fourier, on a pour une fonction $f(x)$ les relations suivantes :

{\mathcal {F}}[f''(x)]=-k^{2}{\hat {f}}(k)\,{\text{   et    }}\,{\mathcal {F}}[xf(x)]=\mathrm {i} {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}{\hat {f}}(k).

En prenant la transformée de Fourier de l'équation et en utilisant les deux formules ci-dessus il vient :

-k^{2}{\hat {y}}(k)=\mathrm {i} {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}{\hat {y}}(k).

Cette équation différentielle du premier ordre a pour solution la fonction :

{\hat {y}}(k)=\mathrm {e} ^{\frac {\mathrm {i} k^{3}}{3}}.

Dans le but d'obtenir y la solution de l'équation de départ, on applique la transformé de Fourier inverse à ${\hat {y}}(k)$ :

y(x)={\mathcal {F}}^{-1}[{\hat {y}}(k)]={\mathcal {F}}^{-1}\left[\mathrm {e} ^{\frac {\mathrm {i} k^{3}}{3}}\right]={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{\frac {\mathrm {i} k^{3}}{3}}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} kx}\,\mathrm {d} k={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{{\frac {\mathrm {i} k^{3}}{3}}+ikx}\,\mathrm {d} k={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\left[\cos \left({\frac {k^{3}}{3}}+kx\right)+\mathrm {i} \sin \left({\frac {k^{3}}{3}}+kx\right)\right]\mathrm {d} k.

En utilisant le fait que la fonction sinus est impaire, que cosinus est paire et que le domaine d'intégration est symétrique, on peut simplifier le calcul et réduire à :

y(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\cos \left({\frac {k^{3}}{3}}+kx\right)\,\mathrm {d} k={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left[\cos \left({\frac {k^{3}}{3}}+kx\right)\right]\mathrm {d} k={\textrm {Ai}}(x)

Ainsi on trouve bien que $Ai(x)$ est une solution de l'équation d'Airy.

Fonction d'Airy de seconde espèce $Bi$

Comparaison de la fonction

Bi

et de ses équivalents asymptotiques

Les solutions de l'équation d'Airy (autres que la solution nulle) ont également un comportement oscillant dans le domaine x<0. La fonction d'Airy de seconde espèce, $Bi$ , est la solution de l'équation d'Airy dont les oscillations ont même amplitude que celles de Ai au voisinage de -∞ et qui présente un déphasage de $π/2$ . Son expression est donnée par :

\mathrm {Bi} (x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left[\exp \left(-{\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)+\sin \left({\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\right]\mathrm {d} t.

Elle admet pour équivalents aux bornes

\mathrm {Bi} (x)\quad {\stackrel {x\rightarrow +\infty }{\sim }}\quad {\frac {\mathrm {e} ^{{\frac {2}{3}}x^{3/2}}}{{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}\qquad \mathrm {Bi} (-x)\quad {\stackrel {x\rightarrow +\infty }{\sim }}\quad {\frac {\cos \left({\frac {2}{3}}x^{3/2}+{\frac {1}{4}}\pi \right)}{{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}.

Les fonctions $Ai$ et $Bi$ constituent un système fondamental de solutions de l'équation d'Airy, la seconde correspondant aux conditions initiales

\mathrm {Bi} (0)={\frac {1}{3^{1/6}\Gamma \left({\frac {2}{3}}\right)}},\qquad \mathrm {Bi} '(0)={\frac {3^{1/6}}{\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)}}.

Relation à d'autres fonctions spéciales

Pour un argument positif, les fonctions d'Airy sont reliées aux fonctions de Bessel modifiées :

{\begin{aligned}\mathrm {Ai} (x)&{}={\frac {1}{\pi }}{\sqrt {\frac {x}{3}}}\,K_{\frac {1}{3}}\left({\tfrac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}\right),\\\mathrm {Bi} (x)&{}={\sqrt {\frac {x}{3}}}\left(I_{\frac {1}{3}}\left({\tfrac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}\right)+I_{-{\frac {1}{3}}}\left({\tfrac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}\right)\right).\end{aligned}}

Avec, $I \pm1/3$ et $K 1/3$ les solutions de l'équation

x^{2}y''+xy'-\left(x^{2}+{\tfrac {1}{9}}\right)y=0.

La première dérivée de la fonction d'Airy est:

\mathrm {Ai'} (x)=-{\frac {x}{\pi {\sqrt {3}}}}\,K_{\frac {2}{3}}\left({\tfrac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}\right).

Pour un argument négatif, les fonctions d'Airy sont reliées aux fonctions de Bessel :

{\begin{aligned}\mathrm {Ai} (-x)&{}={\sqrt {\frac {x}{9}}}\left(J_{\frac {1}{3}}\left({\tfrac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}\right)+J_{-{\frac {1}{3}}}\left({\tfrac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}\right)\right),\\\mathrm {Bi} (-x)&{}={\sqrt {\frac {x}{3}}}\left(J_{-{\frac {1}{3}}}\left({\tfrac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}\right)-J_{\frac {1}{3}}\left({\tfrac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}\right)\right).\end{aligned}}

Avec, $J \pm1/3$ les solutions de

x^{2}y''+xy'+\left(x^{2}-{\tfrac {1}{9}}\right)y=0.

Les fonctions de Scorer qui résolvent l'équation $y'' - xy = 1/π$ peuvent être exprimées grâce aux fonctions d'Airy :

{\begin{aligned}\mathrm {Gi} (x)&{}=\mathrm {Bi} (x)\int _{x}^{\infty }\mathrm {Ai} (t)\,\mathrm {d} t+\mathrm {Ai} (x)\int _{0}^{x}\mathrm {Bi} (t)\,\mathrm {d} t,\\\mathrm {Hi} (x)&{}=\mathrm {Bi} (x)\int _{-\infty }^{x}\mathrm {Ai} (t)\,\mathrm {d} t-\mathrm {Ai} (x)\int _{-\infty }^{x}\mathrm {Bi} (t)\,\mathrm {d} t.\end{aligned}}

Transformée de Fourier

En utilisant la définition de la fonction d'Airy, on peut montrer que :

{\mathcal {F}}(\mathrm {Ai} )(k):=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {Ai} (x)\ \mathrm {e} ^{-2\mathrm {i} \pi kx}\,\mathrm {d} x=\mathrm {e} ^{{\frac {\mathrm {i} }{3}}(2\pi k)^{3}}.

La fonction d'Airy en physique

La fonction d'Airy apparaît en mécanique quantique dans le cas d'une particule dans un potentiel unidimensionnel de la forme $V(x)=-F\cdot x$ avec $F>0$ . Ainsi l'équation de Schrödinger indépendante du temps s'écrit :

\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\partial _{x}^{2}-F\cdot x\right)\psi (x)=E\psi (x).

où $\hbar$ la constante de Planck réduite, $m$ la masse de la particule, $\psi (x)$ la fonction d'onde de la particule considérée et $E$ son énergie. Après le changement de variables suivant et quelques manipulations :

{\tilde {x}}={\frac {E}{F}}\,,\quad l=\left({\frac {\hbar ^{2}}{2mF}}\right)^{1/3}\,,\quad y={\frac {x+{\tilde {x}}}{l}}.

L'équation de Schrödinger indépendante du temps devient

\left(\partial _{y}^{2}+y\right)\psi (y)=0

qui a pour solution la fonction d'Airy avec un argument négatif $Ai(- y)$ . Un exemple physique serait une particule chargée dans un champ électrique uniforme.

Bibliographie

(en) George Biddell Airy, « On the Intensity of Light in the neighbourhood of a Caustic », Trans. Camb. Phil. Soc., vol. 6,‎ 1838, p. 379-402
(en) G. N. Watson, A treatise on the theory of Bessel functions, Cambridge University Press, 1922, p. 188 (lire en ligne)
H. A. Antosiewicz, Bessel Functions of Fractional Order in (en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne)
O. Vallée et M. Soares, Les fonctions d'Airy pour la physique, Paris, Diderot, 1998

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