Fonction cylindre parabolique
En mathématiques, les fonctions cylindre parabolique sont des fonctions spéciales définies comme des solutions à l'équation différentielle
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Cette équation apparait lorsque la technique de séparation des variables est utilisée sur l'équation de Laplace exprimée en coordonnées cylindriques paraboliques .
L'Ă©quation ci-dessus peut ĂȘtre amenĂ©e sous deux formes distinctes (A) et (B) en complĂ©tant le carrĂ© et en redimensionnant z, appelĂ©es Ă©quations de HF Weber (Weber 1869) :
- (A)
et
- (B)
Si
est une solution, alors le sont aussi
Si
est une solution de l'Ă©quation (A), alors
est une solution de (B), et, par symétrie,
sont aussi des solutions de (B).
Solutions
Il existe des solutions paires et impaires indépendantes de l'équation de la forme (A). Ceux-ci sont donnés par (suivant la notation d'Abramowitz et Stegun (1965)):
oĂč est la fonction hypergĂ©omĂ©trique confluente de premiĂšre espĂšce.
D'autres paires de solutions indĂ©pendantes peuvent ĂȘtre formĂ©es Ă partir de combinaisons linĂ©aires des solutions ci-dessus (voir Abramowitz et Stegun). Une telle paire est basĂ©e sur leur comportement Ă l'infini :
oĂč
La fonction U(a , z) se rapproche de zĂ©ro pour les grandes valeurs de z et | arg(z)| < Ï/2, tandis que V(a , z) diverge pour les grandes valeurs de z rĂ©el positif .
et
Pour les valeurs demi-entiĂšres de a, celles-ci (c'est-Ă -dire U et V) peuvent ĂȘtre rĂ©exprimĂ©es en termes de polynĂŽmes d'Hermite ; alternativement, elles peuvent Ă©galement ĂȘtre exprimĂ©s en termes de fonctions de Bessel .
Les fonctions U et V peuvent Ă©galement ĂȘtre apparentĂ©es aux fonctions Dp(x) (une notation datant de Whittaker (1902)) qui sont elles-mĂȘmes parfois appelĂ©es fonctions cylindre parabolique (voir Abramowitz et Stegun (1965)) :
La fonction Da(z) a Ă©tĂ© introduite par Whittaker et Watson comme solution de l'Ă©quation ~( 1 ) avec bornĂ© Ă . Il peut ĂȘtre exprimĂ© en termes de fonctions hypergĂ©omĂ©triques confluentes comme
Un développement en série entiÚre pour cette fonction a été obtenue par Abadir (1993).
Références
- (en) Abadir, K. M., « Expansions for some confluent hypergeometric functions », Journal of Physics A, no 26,â , p. 4059-4066.
- (en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [dĂ©tail de lâĂ©dition] (lire en ligne)
- (en) « Fonction cylindre parabolique », dans Michiel Hazewinkel, EncyclopÊdia of Mathematics, Springer, (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)
- (en) N. M. Temme, « Parabolic Cylinder Functions », sur NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, (ISBN 978-0521192255)
- (de) H.F. Weber, « Ueber die Integration der partiellen Differentialgleichung », Math. Ann., vol. 1,â , p. 1â36
- (en) Whittaker, E.T., « On the functions associated with the parabolic cylinder in harmonic analysis », Proc. London Math. Soc., no 35,â , p. 417â427.
- (en) Whittaker, E. T. et Watson, G. N., A Course in Modern Analysis : The Parabolic Cylinder Function, Cambridge,, Cambridge University Press, , 347-348 p., « 16.5 ».