Filtre adaptatif

Si le filtre variable a une structure de filtre à réponse impulsionnelle finie à ligne à retard à dérivation (en anglais : Tapped delay line FIR filter), alors la réponse impulsionnelle est égale aux coefficients du filtre. La sortie du filtre est donnée par

${\displaystyle y_{k}=\sum _{l=0}^{L}w_{lk}\ x_{(k-l)}={\hat {g}}_{k}+{\hat {u}}_{k}+{\hat {v}}_{k}}$

où ${\displaystyle w_{lk}}$ième désigne le lième poids au kième moment.

Dans le cas idéal ${\displaystyle v\equiv 0,v'\equiv 0,g'\equiv 0}$. Tous les signaux non désirés dans ${\displaystyle d_{k}}$ sont représentés par ${\displaystyle u_{k}}$. ${\displaystyle \ x_{k}}$ consiste entièrement en un signal corrélé avec le signal indésirable dans ${\displaystyle u_{k}}$.

La sortie du filtre variable dans le cas idéal est la suivante :

${\displaystyle y_{k}={\hat {u}}_{k}}$ .

Le signal d'erreur ou fonction objectif est la différence entre ${\displaystyle d_{k}}$ et ${\displaystyle y_{k}}$

${\displaystyle \epsilon _{k}=d_{k}-y_{k}=g_{k}+u_{k}-{\hat {u}}_{k}}$. Le signal désiré g_k passe sans être modifié.

Le signal d'erreur ${\displaystyle \epsilon _{k}}$ est minimisé au sens du carré moyen lorsque ${\displaystyle [u_{k}-{\hat {u}}_{k}]}$ est minimisé. En d'autres termes, ${\displaystyle {\hat {u}}_{k}}$ est la meilleure estimation quadratique moyenne de ${\displaystyle u_{k}}$. Dans le cas idéal, ${\displaystyle u_{k}={\hat {u}}_{k}}$ et ${\displaystyle \epsilon _{k}=g_{k}}$, et tout ce qui reste après la soustraction est ${\displaystyle g}$ qui est le signal désiré inchangé avec tous les signaux non désirés éliminés.

Dans certaines situations, l'entrée de référence ${\displaystyle x_{k}}$ comprend des composantes du signal souhaité. Cela signifie que g' ≠ 0.

Une annulation parfaite du brouillage indésirable n'est pas possible dans ce cas, mais une amélioration du rapport signal/brouillage est possible. La sortie sera

${\displaystyle \epsilon _{k}=d_{k}-y_{k}=g_{k}-{\hat {g}}_{k}+u_{k}-{\hat {u}}_{k}}$. Le signal souhaité sera modifié (généralement diminué).

Le rapport signal de sortie/interférence a une formule simple appelée inversion de puissance.

${\displaystyle \rho _{\mathsf {out}}(z)={\frac {1}{\rho _{\mathsf {ref}}(z)}}}$.

où

${\displaystyle \rho _{\mathsf {out}}(z)\ }$ = rapport signal de sortie/interférence.

${\displaystyle \rho _{\mathsf {ref}}(z)\ }$ = rapport signal de référence/interférence.

${\displaystyle z\ }$ = fréquence dans le domaine z.

Cette formule signifie que le rapport signal de sortie sur interférence à une fréquence particulière est l'inverse du rapport signal de référence sur interférence[5].

Exemple : Un restaurant de type fast-food dispose d'une fenêtre de type drive-up. Avant de se rendre à la fenêtre, les clients passent leur commande en parlant dans un microphone. Le microphone capte également le bruit du moteur et de l'environnement. Ce microphone fournit le signal primaire. La puissance du signal provenant de la voix du client et la puissance du bruit provenant du moteur sont égales. Il est difficile pour les employés du restaurant de comprendre le client. Pour réduire la quantité d'interférences dans le microphone primaire, un second microphone est placé à l'endroit prévu pour capter les sons du moteur. Il capte également la voix du client. Ce microphone est la source du signal de référence. Dans ce cas, le bruit du moteur est 50 fois plus puissant que la voix du client. Une fois que l'annuleur aura convergé, le rapport signal primaire/interférence sera amélioré de 1:1 à 50:1.

Combineur linéaire adaptatif montrant le combineur et le processus d'adaptation. k = nombre d'échantillons, n=indice de la variable d'entrée, x = entrées de référence, d = entrée souhaitée, W = ensemble de coefficients de filtre, ε = sortie d'erreur, Σ = sommation, boîte supérieure=combineur linéaire, boîte inférieure=algorithme d'adaptation.

Combineur linéaire adaptatif, représentation compacte. k = nombre d'échantillons, n=indice de la variable d'entrée, x = entrées de référence, d = entrée désirée, ε = sortie d'erreur, Σ = sommation.

Le combineur linéaire adaptatif (ALC) ressemble au filtre FIR à ligne à retard adaptatif, sauf qu'il n'y a pas de relation présumée entre les valeurs X. Si les valeurs X provenaient des sorties, le filtre linéaire adaptatif (ALC) ne pourrait pas être utilisé. Si les valeurs X provenaient des sorties d'une ligne à retard à prises, alors la combinaison de la ligne à retard à prises et de l'ALC comprendrait un filtre adaptatif. Cependant, les valeurs X pourraient être les valeurs d'un réseau de pixels. Ou bien elles peuvent être les sorties de plusieurs lignes à retard. L'ALC trouve son utilité comme formateur de faisceau adaptatif pour des réseaux d'hydrophones ou d'antennes.

${\displaystyle y_{k}=\sum _{l=0}^{L}w_{lk}\_x_{lk}=\mathbf {W} _{k}^{T}\mathbf {x} _{k}}$

où ${\displaystyle w_{lk}}$ désigne le ${\displaystyle l}$'ième poids au k'ième temps.

Si le filtre variable a une structure FIR à ligne à retard taraudée, alors l'algorithme de mise à jour LMS est particulièrement simple. Typiquement, après chaque échantillon, les coefficients du filtre FIR sont ajustés comme suit[6] :

pour ${\displaystyle l=0\dots L}$

${\displaystyle w_{l,k+1}=w_{lk}+2\mu \ \epsilon _{k}\ x_{k-l}}$

μ est appelé le facteur de convergence.

L'algorithme LMS n'exige pas que les valeurs X aient une relation particulière ; il peut donc être utilisé pour adapter un combineur linéaire ainsi qu'un filtre FIR. Dans ce cas, la formule de mise à jour s'écrit comme suit :

${\displaystyle w_{l,k+1}=w_{lk}+2\mu \ \epsilon _{k}\ x_{lk}}$

L'algorithme LMS a pour effet, à chaque instant, k, d'apporter un petit changement à chaque poids. La direction de la modification est telle qu'elle diminuerait l'erreur si elle avait été appliquée au moment k. L'ampleur de la modification de chaque poids dépend de μ, de la valeur X associée et de l'erreur au moment k. Les poids apportant la plus grande contribution à la sortie, ${\displaystyle y_{k}}$, sont modifiés le plus. Si l'erreur est nulle, alors il ne devrait pas y avoir de changement dans les poids. Si la valeur associée de X est nulle, alors la modification du poids ne fait aucune différence, il n'est donc pas modifié.

μ contrôle la vitesse et la qualité de la convergence de l'algorithme vers les coefficients de filtre optimaux. Si μ est trop grand, l'algorithme ne convergera pas. Si μ est trop petit, l'algorithme converge lentement et peut ne pas être en mesure de suivre l'évolution des conditions. Si μ est grand mais pas trop pour empêcher la convergence, l'algorithme atteint rapidement l'état stable mais dépasse continuellement le vecteur de poids optimal. Parfois, μ est rendu grand au début pour une convergence rapide et ensuite diminué pour minimiser le dépassement.

Widrow et Stearns déclarent en 1985 qu'ils n'ont pas connaissance d'une preuve que l'algorithme LMS convergera dans tous les cas[7].

Cependant, sous certaines hypothèses de stationnarité et d'indépendance, on peut montrer que l'algorithme convergera si

${\displaystyle 0<\mu <{\frac {1}{\sigma ^{2}}}}$

où

${\displaystyle \sigma ^{2}=\sum _{l=0}^{L}\sigma _{l}^{2}}$ = somme de toutes les puissances d'entrée.

${\displaystyle \sigma _{l}}$ est la valeur RMS de la ${\displaystyle l}$'ième entrée.

Dans le cas du filtre à ligne à retard taraudée, chaque entrée a la même valeur efficace car il s'agit simplement des mêmes valeurs retardées. Dans ce cas, la puissance totale est

${\displaystyle \sigma ^{2}=(L+1)\sigma _{0}^{2}}$

où

${\displaystyle \sigma _{0}}$ est la valeur efficace de ${\displaystyle x_{k}}$, le flux d'entrée[7].

Cela conduit à un algorithme LMS normalisé :

${\displaystyle w_{l,k+1}=w_{lk}+\left({\frac {2\mu _{\sigma }}{\sigma ^{2}}}\right)\epsilon _{k}\ x_{k-l}}$ auquel cas le critère de convergence devient : ${\displaystyle 0<\mu _{\sigma }<1}$.

L'objectif des filtres non linéaires est de surmonter les limites des modèles linéaires. Il existe quelques approches couramment utilisées : Volterra LMS, Kernel adaptive filter (en), Spline Adaptive Filter [8] et le filtre adaptatif Urysohn[9] - [10]. De nombreux auteurs[11] inclurent également les réseaux neuronaux dans cette liste. L'idée générale derrière le Volterra LMS et le Kernel LMS est de remplacer les échantillons de données par différentes expressions algébriques non linéaires. Pour le Volterra LMS, cette expression est la série de Volterra (en). Dans le filtre adaptatif Spline, le modèle est une cascade de bloc dynamique linéaire et de non-linéarité statique, qui est approximée par des splines. Dans le filtre adaptatif d'Urysohn, les termes linéaires dans un modèle

${\displaystyle y_{i}=\sum _{j=0}^{m}w_{j}\mathbb {N} -x_{ij}}$

sont remplacés par des fonctions linéaires par morceaux

${\displaystyle y_{i}=\sum _{j=0}^{m}f_{j}(x_{ij})}$

qui sont identifiées à partir d'échantillons de données.