Extraction de racine carrée par la méthode du goutte à goutte

Cette méthode a été mise au point en 1865 par August Toepler (en) et publiée par Franz Reuleaux dans les Verhandlungen des Vereins zur Beförderung des Gewerbfleißes in Preußen[1] la même année[2]. Elle est spécialement créée pour rechercher une racine carrée à l'aide d'un arithmomètre dont Reuleaux était un ardent promoteur[3]. Mais elle peut tout aussi bien s'effectuer à la main.

On lui donne parfois le nom d'extraction par la méthode du goutte à goutte[4] - [5] car elle permet, petit à petit (goutte à goutte) , d'obtenir les décimales successives d'une racine carrée uniquement à l'aide d'un nombre modéré de soustractions[6].

L'algorithme est basé d'une part sur la propriété que la somme des n premiers nombres impairs (de 1 à 2n – 1) est n², et d'autre part que lorsqu'on change de tranche (2 chiffres), cela correspond à un changement d'un chiffre pour la racine.

Remarquons que lorsqu'on a un nombre à virgule, on peut se ramener à un nombre entier par un décalage de la virgule par tranche de 2 chiffres : cela correspond à un décalage de la virgule d'1 chiffre pour la racine carrée. En pratique, le passage de la virgule consiste à mettre une virgule dans la racine (voir l'exemple).

Pour la justification, appelons N un nombre entier dont on cherche la racine carrée.

Étape 1 : On sépare N en tranches de 2 chiffres à partir du chiffre des unités : ${\displaystyle N={\overline {A_{0}A_{1}\cdots A_{k}}}}$ où les ${\displaystyle A_{i}}$ sont les tranches de 2 chiffres sauf éventuellement pour ${\displaystyle A_{0}}$. N ayant (k+1) tranches de 2 chiffres, sa racine carrée sera composée de (k+1) chiffres : ${\displaystyle {\overline {c_{0}c_{1}\cdots c_{k}}}}$. Le découpage par tranches de 2 chiffres va permettre de trouver des approximations par défaut successives de la racine carré de N à ${\displaystyle 10^{i}}$ près, de i égal k à 0.

Étape 2 : On trouve une approximation par défaut à l'unité de la racine carré de ${\displaystyle A_{0}}$ en lui ôtant tous les entiers impairs de 1 à ${\displaystyle 2c_{0}-1}$

Étape 3 : On a ôté ainsi ${\displaystyle c_{0}}$ nombres impairs et on sait que ${\displaystyle c_{0}^{2}\leq A_{0}<(c_{0}+1)^{2}}$

Étape 4 : Le résultat de la dernière soustraction est ${\displaystyle d_{0}=A_{0}-c_{0}^{2}}$. En collant la tranche suivante, on obtient ${\displaystyle {\overline {d_{0}A_{1}}}={\overline {A_{0}A_{1}}}-100c_{0}^{2}}$ soit le reste obtenu en soustrayant à ${\displaystyle {\overline {A_{0}A_{1}}}}$ tous les entiers impairs de 1 à ${\displaystyle 20c_{0}-1}$.

Étape 5 : L'entier impair suivant à ôter est ${\displaystyle 20c_{0}+1}$, soit le dernier impair ôté à l'étape 2, ${\displaystyle 2c_{0}-1}$, auquel on a ajouté 1, résultat qu'on a multiplié par 10 et auquel on ajoute de nouveau 1.

Étape 6 : On trouve une approximation par défaut à l'unité de la racine carré de ${\displaystyle {\overline {A_{0}A_{1}}}}$ en ôtant à ${\displaystyle {\overline {d_{0}A_{1}}}}$tous les entiers impairs à partir de ${\displaystyle 20c_{0}+1}$ jusqu'à ${\displaystyle 20c_{0}+2c_{1}-1=2{\overline {c_{0}c_{1}}}-1}$

Étape 7 : On a ôté ainsi ${\displaystyle c_{1}}$ nombres impairs supplémentaires et on sait que ${\displaystyle {\overline {c_{0}c_{1}}}^{2}\leq {\overline {A_{0}A_{1}}}<({\overline {c_{0}c_{1}}}+1)^{2}}$

Étape 4bis : Le résultat de la dernière soustraction est ${\displaystyle d_{1}={\overline {A_{0}A_{1}}}-{\overline {c_{0}c_{1}}}^{2}}$. En collant la tranche suivante, on obtient ${\displaystyle {\overline {d_{1}A_{2}}}={\overline {A_{0}A_{1}A_{2}}}-100{\overline {c_{0}c_{1}}}^{2}}$ soit le reste obtenu en soustrayant à ${\displaystyle {\overline {A_{0}A_{1}A_{2}}}}$ tous les entiers impairs de 1 à ${\displaystyle 20{\overline {c_{0}c_{1}}}-1}$.

Étape 5bis : L'entier impair suivant à ôter est ${\displaystyle 20{\overline {c_{0}c_{1}}}+1}$ soit le dernier impair ôté à l'étape 6, ${\displaystyle 2{\overline {c_{0}c_{1}}}-1}$, auquel on a ajouté 1, résultat qu'on a multiplié par 10 et auquel on ajoute de nouveau 1.

etc.

Si le dernier reste est nul et qu'il n'y a plus de tranche non nulle à coller, la racine carrée est exacte.

Une variante, utilisée dans la machine à calculer Friden SRW10, permet de n'incrémenter qu'un chiffre à la fois dans les soustractions successives[7]. Elle consiste à multiplier N par 5 et à lui ôter tous les entiers de la forme 10k+5. Pour reprendre l'exemple de 71214,28. On multiplie ce nombre par 5, on obtient 356071,4.

• On coupe ce nombre par tranches de 2 chiffres 35 60 71,40

• A la tranche 35, on ôte les entiers à partir de 5 par pas de 10

• la première décimale de √71214,28 est 2
• On abaisse la tranche suivante et on obtient le nombre 1560. À ce nombre, on ôte les entiers à partir de 205 par pas de 10

• Les deux premières décimales de √71214,28 sont 26
• On abaisse la tranche suivante et on obtient 18071. À ce nombre, on ôte les entiers à partir de 2605 par pas de 10

• Les trois premières décimales de √71214,28 sont 266
• On abaisse la tranche suivante, après la virgule, et on obtient 229140. À ce nombre, on ôte les entiers à partir de 26605 par pas de 10

• Une approximation au dixième de √71214,28 est 266,8

Ainsi de suite.

• « Racine carrée - Appel aux impairs - Méthode du goutte à goutte », sur Gérard Willemin, Nombres, curiosités, théorie et usages (consulté le 16 avril 2021);
• Hervé Lehning, « Les racines au goutte à goutte », Bibliothèque Tangente, n^o 22,‎ 2012, p. 88-90 (ISSN 2263-4908);
• André Devaux, « Evolution des machines à calculer mécaniques », Bulletin de l'APMEP - Ateliers des Journées APMEP de Clermont-Ferrand 2006, n^o 471,‎ 2007, p. 88-90 (en détaillé 1-13) (ISSN 2263-4908, lire en ligne);
• Pierre Ageron, « L’arithmomètre de Thomas : sa réception dans les pays méditerranéens (1850-1915), son intérêt dans nos salles de classe », History and Pedagogy of Mathematics,‎ 2016, p. 1-17 (HAL hal-1349266, lire en ligne);
• (de) Franz Reuleaux, « Toepler's Verfahren der Wurzelausziehung mittelst der Thomas'schen Rechenmaschine. », Aus den Verhandlungen des Vereins zur Beförderung des Gewerbfleißes in Preußen, n^o 44,‎ 1865, p. 112-116 (lire en ligne);
• IREM de Caen Normandie, « Mathématiques de Secondes appuyées sur l'histoire : Recueils de textes historiques (première partie) », Stage du plan académique de formation, sur IREM de l'université de Caen, février mars 2020 (consulté le 16 avril 2021), p. 6-9;
• (de) Quadratwurzel mit mechanischer Rechenmaschine, Kijo sur Youtube (7 décembre 2013) “Utilisation de la méthode de Toepler avec un arithmomètre”

• Méthode de Héron