Extension de Kan

Soit p : C → C’ un foncteur, il induit pour toute catégorie D le foncteur

${\displaystyle p^{*}:[C',D]\to [C,D]}$

sur la catégorie des foncteurs, qui envoie tout foncteur h : C’ → D sur le foncteur composé

${\displaystyle p^{*}h:C{\stackrel {p}{\to }}C'{\stackrel {h}{\to }}D}$.

Si le foncteur ${\displaystyle p^{*}}$ admet un adjoint à gauche, on le note ${\displaystyle p_{!}}$ ou ${\displaystyle \operatorname {Lan} _{p}}$ et on l'appelle extension de Kan à gauche le long de p. Si ${\displaystyle p^{*}}$ admet un adjoint à droite, on le note ${\displaystyle p^{!}}$ ou ${\displaystyle \operatorname {Ran} _{p}}$ et on l'appelle extension de Kan à droite le long de p. On peut écrire

${\displaystyle \operatorname {Lan} _{p}\dashv p^{*}\dashv \operatorname {Ran} _{p}}$.

Les foncteurs ${\displaystyle \operatorname {Lan} _{p}F}$ et ${\displaystyle \operatorname {Ran} _{p}F}$, lorsqu'ils existent, sont obtenus comme adjonctions c'est-à-dire au travers d'une construction universelle : ils sont donc uniques à isomorphisme près et on parle de l'extension de Kan, au singulier, respectivement à gauche et à droite de F le long de p.

Il est dans certains cas possible de définir des extensions de Kan à droite (respectivement à gauche) point par point en termes de limites ou de fins (respectivement de colimites ou de cofins). Les extensions ainsi définies sont parfois qualifiées d'extensions fortes.

• Si E est un objet terminal de Cat, alors l'extension de Kan à droite (respectivement à gauche) correspond à la limite (respectivement la colimite) : ${\displaystyle \operatorname {Ran} _{E}F=\lim F}$. En conséquence, tout ce qui a trait aux limites est un exemple d'extension de Kan.
• Si D = Set, alors les extensions de Kan correspondent à l'image directe et réciproque des préfaisceaux.
• La réalisation géométrique d'un foncteur est son extension de Kan à gauche le long du plongement de Yoneda.

• (en) Francis Borceux, Handbook of Categorical Algebra 1, Cambridge, Cambridge University Press, 2004, 345 p. (ISBN 0-521-44178-1, lire en ligne)
• (en) Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician [détail de l’édition]
• nLab, Kan extension