Exposant critique

Tous les exposants sont définis de manière à être positifs ou nuls.

L'exposant ${\displaystyle \alpha }$

La chaleur spécifique ${\displaystyle C=\partial E/\partial T}$ diverge au point critique en

${\displaystyle C\sim |\epsilon |^{-\alpha }~}$ (en gardant ${\displaystyle h=0}$)

Remarquez que la divergence est présente des deux côtés de la transition.

L'exposant ${\displaystyle \beta }$

Il décrit la manière avec laquelle le paramètre d'ordre dans une petite région tend vers 0 quand la température augmente vers la température critique:

${\displaystyle m\sim (-\epsilon )^{\beta }~}$ (en gardant ${\displaystyle h=0}$, et seulement pour ${\displaystyle \epsilon <0}$)

Rappelons que ${\displaystyle m=0}$ pour ${\displaystyle \epsilon >0}$.

L'exposant ${\displaystyle \gamma }$

Il décrit comment la susceptibilité généralisée en champ nul ${\displaystyle \chi =\partial m/\partial h}$ diverge au point critique

${\displaystyle \chi \sim |\epsilon |^{-\gamma }~}$ (pris en ${\displaystyle h=0}$)

Là encore la divergence est présente que l'on tende de la gauche ou de la droite vers ${\displaystyle \epsilon =0}$. Pour le ferromagnétisme, la susceptibilité généralisée est la vraie susceptibilité, et pour la transition liquide/gaz, il s'agit de ${\displaystyle \partial \rho /\partial P}$ qui est, à un facteur près, la compressibilité isotherme.

L'exposant ${\displaystyle \delta }$

Il décrit comment varie le paramètre d'ordre à champ faible quand le système est à la température critique

${\displaystyle m\sim |h|^{1/\delta }~}$ (en gardant ${\displaystyle \epsilon =0}$)

L'exposant ${\displaystyle \nu }$

Il décrit comment la longueur de corrélation diverge quand on s'approche du point critique

${\displaystyle \xi \sim |\epsilon |^{-\nu }~}$ (en gardant ${\displaystyle h=0}$)

L'exposant ${\displaystyle \eta }$

Juste au point critique, on a ${\displaystyle \xi =\infty }$ et la fonction de corrélation perd sa décroissance exponentielle pour avoir asymptotiquement une décroissance en loi de puissance. L'exposant ${\displaystyle \eta }$ caractérise cette loi de puissance

${\displaystyle G(r)\sim |r|^{2-d-\eta }~}$ (au point critique, c'est-à-dire ${\displaystyle \epsilon =0}$ et ${\displaystyle h=0}$)

Ici (et dans la suite), ${\displaystyle d}$ est la dimension du système, c'est-à-dire 3 pour le monde physique.

Notez qu'il n'y a aucune raison a priori de supposer comme on l'a fait que le comportement critique d'une quantité soit le même à gauche ou à droite de ${\displaystyle T_{c}}$; on a utilisé implicitement les résultats de la théorie d'échelle présentée dans la section suivante. Si on décide de ne pas faire cette hypothèse et que l'on veut distinguer l'exposant basse température de l'exposant haute température, on ajoute habituellement un prime aux noms des exposants pour le comportement basse température; par exemple on peut écrire

${\displaystyle C\sim \epsilon ^{-\alpha }\quad {\text{pour }}\epsilon >0,\qquad C\sim (-\epsilon )^{-\alpha '}\quad {\text{pour }}\epsilon <0.}$

La théorie d'échelle est une hypothèse supplémentaire très séduisante et bien validée par l'expérience qui consiste à supposer que la seule quantité importante est la longueur de corrélation. La longueur de corrélation ${\displaystyle \xi }$ dépend bien sûr de ${\displaystyle \epsilon }$ et de ${\displaystyle h}$ et, a priori, toutes les fonctions thermodynamiques devraient dépendre de manière compliquée de ces deux variables. L'hypothèse derrière les relations d'échelle est de supposer que la partie «intéressante» des fonctions thermodynamiques (la partie qui décrit les singularités associées à la transition) ne dépend que de ${\displaystyle \xi }$ et pas directement de ${\displaystyle \epsilon }$ ou ${\displaystyle h}$:

${\displaystyle F(V,\epsilon ,h)=F_{0}(V,\epsilon ,h)+V\times \phi {\big (}\xi (\epsilon ,h){\big )}}$

Ici, ${\displaystyle F}$ est une fonction thermodynamique (typiquement l'énergie libre ou l'enthalpie libre, selon les cas), ${\displaystyle F_{0}}$ est la partie régulière, «inintéressante» de cette fonction et ${\displaystyle V\times \phi }$ est la partie qui «contient» la transition de phase. On a sorti le volume ${\displaystyle V}$ en facteur parce que la fonction doit être extensive. Comme ${\displaystyle \xi }$ est une longueur, la seule formule possible est

${\displaystyle F-F_{0}=a{\frac {V}{\xi (\epsilon ,h)^{3}}}}$

De manière générale, en dimension ${\displaystyle d}$

${\displaystyle F-F_{0}\sim \xi (\epsilon ,h)^{-d}~}$

De cette dernière relation, on déduit les relations d'échelle. Par exemple, utilisant la relation thermodynamique

${\displaystyle C=-T{\frac {\partial ^{2}F}{\partial T^{2}}}}$

on obtient près du point critique, en oubliant les préfacteurs et les termes réguliers

${\displaystyle C\sim {\frac {\partial ^{2}\xi ^{-d}}{\partial \epsilon ^{2}}}}$

mais pour ${\displaystyle h=0}$, on a ${\displaystyle \xi \sim |\epsilon |^{-\nu }~}$, d'où

${\displaystyle C\sim |\epsilon |^{d\nu -2}~}$

et donc, par comparaison,

${\displaystyle \alpha =2-d\nu }$

Par des raisonnements similaires, on obtient une série d'égalités appelées relations d'échelle

${\displaystyle 2-\alpha =d\nu =\gamma +2\beta =\beta (\delta +1)={\frac {d\gamma }{2-\eta }}}$

Il y a là quatre égalités pour six inconnues (${\displaystyle d}$ est supposé donné). On voit donc qu'il suffit (en général) de connaître deux exposants critiques pour tous les déterminer.

Expérimentalement, les exposants critiques ont des valeurs très similaires. Tous les ferromagnétiques semblent avoir des valeurs de ${\displaystyle \beta }$ et ${\displaystyle \gamma }$ qui vérifient

${\displaystyle 0,31\leq \beta \leq 0,38\quad 1,25\leq \gamma \leq 1,38}$

Les exposants de la transition liquide/gaz ou de la transition superfluide de l'hélium-4 ont des valeurs très proches de celles des ferromagnétiques. On dit que ces exposants sont universels.

La théorie de la renormalisation, développée dans les années 1970 par (entre autres) Kenneth G. Wilson et Leo P. Kadanoff a permis de mieux comprendre l'universalité des exposants critiques et les relations d'échelle. On pense maintenant que les exposants critiques ne dépendent que a) la dimension ${\displaystyle d}$ du système, b) le caractère courte portée/longue portée des interactions (on ne s'intéresse en fait qu'aux interactions courte portée), c) le nombre de composants ${\displaystyle n}$ des constituants élémentaires du système (pour un spin quantique, tout se passe comme s'il était orienté selon le champ magnétique et ${\displaystyle n=1}$. Un moment magnétique classique est un vecteur de l'espace et ${\displaystyle n=3}$. Pour un ferromagnétique réel, la valeur de ${\displaystyle n}$ dépend des symétries du crystal). Il se trouve que les exposants critiques ne dépendent que faiblement de ${\displaystyle n}$, ce qui explique la grande homogénéité des valeurs mesurées expérimentalement. Les exposants critiques ne dépendent pas du réseau sous-jacent, du caractère discret ou continu des exposants élémentaires, de la forme précise des interactions (tant qu'elles sont de courte portée).

En dimension ${\displaystyle d=1}$, il n'y a pas de transition de phase.

En dimension ${\displaystyle d=2}$, les exposants critiques sont exactement connus dans le cas ${\displaystyle n=1}$ grâce à la solution du modèle d'Ising en deux dimensions apportée par Lars Onsager en 1944.

En dimension ${\displaystyle d=3}$, on a des mesures expérimentales, des mesures numériques, et des résultats théoriques dues à la renormalisation qui donnent des approximations des exposants. Beaucoup de calculs théoriques sont faits là encore sur le modèle d'Ising.

En dimension ${\displaystyle d\geq 4}$, La théorie de Landau (appelée également théorie classique ou théorie de champ moyen) prédit des valeurs pour les exposants critiques. (Historiquement, ce fut une surprise que la théorie de Landau ne s'applique pas aux systèmes réels en ${\displaystyle d=3}$.)

Voici les valeurs tirées du livre de Kadanoff:

Valeurs des exposants critiques

	${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle \beta }$	${\displaystyle \gamma }$	${\displaystyle \delta }$	${\displaystyle \nu }$	${\displaystyle \eta }$
Ising ${\displaystyle d=2}$	0	1/8	7/4	15	1	1/4
Ising ${\displaystyle d=3}$	${\displaystyle \approx }$0,104	${\displaystyle \approx }$0,325	${\displaystyle \approx }$1,23	${\displaystyle \approx }$5,2	${\displaystyle \approx }$0,632	${\displaystyle \approx }$0,039
Théorie de Landau	0	1/2	1	3	1/2	0

• States of Matter, David L. Goodstein (Prentice-Hall, INC., New Jersey 1975) (ISBN 013843557X)
• Statistical Physics: Statics, Dynamics and Renormalization, Leo P. Kadanoff (World Scientific, Singapore 1999 (ISBN 9810237588)
• The Critical Point: A Historical Introduction To The Modern Theory Of Critical Phenomena, Cyril Domb, Taylor and Francis 1996 (ISBN 074840435X)