Espace tangent (géométrie algébrique)

Soit A un anneau local d'idéal maximal M. Soit ${\displaystyle k_{A}=A/M}$ le corps résiduel de A. Pour a ∈ A et m, m' ∈ M, on remarque que

${\displaystyle (a+m')m=am+m'm\equiv am\mod M^{2}}$

avec M² le produit d'idéal de M par lui-même. Ainsi le quotient de A-modules ${\displaystyle M/M^{2}}$ est un ${\displaystyle k_{A}}$-espace vectoriel ; on l'appelle espace cotangent et son dual espace tangent de Zariski de ${\displaystyle A}$. Notons-le ${\displaystyle T_{A}}$.

On a l'isomorphisme suivant :

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\phi$ :{\frac {M}{M^{2}}}&\to &M\otimes _{A}k_{A}\\{\overline {m}}&\mapsto &m\otimes _{A}1\end{array}}}

avec ${\displaystyle \otimes _{A}}$ le produit tensoriel de A-modules. Ces espaces vectoriels sont de dimension finie si A est noethérien car M est alors un module de type fini.

Si ${\displaystyle A\to B}$ est un homomorphisme d'anneaux locaux noethériens, on a canoniquement une application ${\displaystyle k_{B}}$-linéaire ${\displaystyle T_{B}\to (T_{A}\otimes k_{B})}$.

On sait que la dimension de l'espace tangent d'un anneau local noethérien ${\displaystyle A}$ est toujours minorée par la dimension de Krull de ${\displaystyle A}$. Par définition, l'anneau local ${\displaystyle A}$ est dit régulier s'il y a égalité.

Soit ${\displaystyle x}$ un point d'un schéma ${\displaystyle X}$. Soient ${\displaystyle m_{x}}$ l'idéal maximal de l'anneau local ${\displaystyle O_{X,x}}$ de ${\displaystyle X}$ en ${\displaystyle x}$. Rappelons que le corps ${\displaystyle k(x)=O_{X,x}/m_{x}}$ est le corps résiduel en ${\displaystyle x}$. L'espace tangent de Zariski de ${\displaystyle X}$ en ${\displaystyle x}$ est par définition l'espace tangent de l'anneau local ${\displaystyle O_{X,x}}$. On le note ${\displaystyle T_{X,x}}$.

La construction des espaces tangents est fonctorielle pour les schémas noethériens. Si ${\displaystyle f:X\to Y}$ est un morphisme de schémas noethériens, alors ${\displaystyle f}$ induit canoniquement une application linéaire ${\displaystyle T_{X,x}\to T_{Y,y}\otimes _{k(y)}k(x)}$, où ${\displaystyle y=f(x)}$. Cette application est l'application tangente de ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle x}$, que l'on note parfois${\displaystyle T_{f,x}}$. Lorsque ${\displaystyle k(y)=k(x)}$ (par exemple si ${\displaystyle X,Y}$ sont des variétés algébriques sur un corps et si ${\displaystyle x}$ est un point rationnel de ${\displaystyle X}$), c'est une application ${\displaystyle T_{X,x}\to T_{Y,y}}$.

Exemples

• L'espace tangent de l'espace affine ${\displaystyle A^{n}}$ sur un corps ${\displaystyle k}$ en un point rationnel est de dimension ${\displaystyle n}$.
• Supposons k algébriquement clos pour simplifier. Soit ${\displaystyle X={\rm {Spec}}(k[u,v]/(u^{2}-v^{3}))}$. Alors l'espace tangent de ${\displaystyle X}$ au point ${\displaystyle u=v=0}$ est un k-espace vectoriel de dimension 2. Il est de dimension 1 aux autres points fermés, de dimension 0 au point générique.

Pour tout schéma localement noethérien ${\displaystyle X}$ et pour tout point ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle X}$, on a

${\displaystyle \dim O_{X,x}\leq \dim _{k(x)}T_{X,x}.}$

La dimension de gauche étant la dimension de Krull de l'anneau local ${\displaystyle O_{X,x}}$, celle de droite étant la dimension vectorielle. L'égalité définit les points réguliers de ${\displaystyle X}$.

Si ${\displaystyle X}$ est un schéma lisse de dimension ${\displaystyle n}$ sur un corps ${\displaystyle k}$, de sorte que le faisceau des différentielles relatives ${\displaystyle \Omega _{X/k}}$ sur ${\displaystyle X}$ soit un fibré vectoriel de rang ${\displaystyle n}$, alors le faisceau dual ${\displaystyle \Omega _{X/k}^{\vee }}$ est aussi un fibré vectoriel de rang ${\displaystyle n}$. Pour tout point rationnel ${\displaystyle x}$, on a un isomorphisme canonique

• ${\displaystyle \Omega _{X/k}^{\vee }\otimes _{O_{X,x}}k(x)\to T_{X,x}.}$

Donc intuitivement les espaces tangents forment un fibré vectoriel au-dessus de ${\displaystyle X}$.

Si ${\displaystyle i:Z\to X}$ est une immersion fermée, alors pour tout point ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle Z}$, on a ${\displaystyle k(x)=k(i(x))}$ et l'application tangente ${\displaystyle T_{i,x}}$ est injective.

Exemple On prend pour ${\displaystyle X}$ l'espace affine de dimension ${\displaystyle n}$ sur un corps ${\displaystyle k}$ et ${\displaystyle Z}$ la sous-variété fermée définie par des polynômes ${\displaystyle F_{1},\ldots ,F_{m}}$ à ${\displaystyle n}$ variables. Soit ${\displaystyle x}$ un point rationnel de ${\displaystyle Z}$. Pour tout polynôme ${\displaystyle F=F(T_{1},\ldots ,T_{n})}$, notons ${\displaystyle D_{x}F}$ la forme linéaire sur ${\displaystyle k^{n}}$

${\displaystyle D_{x}F(t_{1},\ldots ,t_{n})=\sum _{i}({\partial F}/{\partial T_{i}})(x)t_{i}.}$

C'est la différentielle de ${\displaystyle F}$ en ${\displaystyle x}$. Après avoir identifié l'espace tangent de ${\displaystyle X}$ en ${\displaystyle x}$ avec ${\displaystyle k^{n}}$, on a un isomorphisme de ${\displaystyle T_{Z,x}}$ avec l'intersection des sous-espaces vectoriels :

${\displaystyle \{t=(t_{1},\ldots ,t_{n})\mid D_{x}F_{j}(t)=0\},j=1,2,\dots ,m.}$

Autrement dit, ${\displaystyle T_{Z,x}=\bigcap _{j=1}^{m}\ker D_{x}F_{j}}$.

Soit ${\displaystyle {\rm {Jac}}_{x}(F_{1},\ldots ,F_{m})}$ la matrice ${\displaystyle m\times n}$ dont les lignes représentent les formes linéaires ${\displaystyle D_{x}F_{1},\ldots ,D_{x}F_{m}}$. Alors on a ${\displaystyle \dim T_{Z,x}+{\rm {rg}}({\rm {Jac}}_{x}(F_{1},\ldots ,F_{m}))=n}$ (c'est le théorème du rang de l'application linéaire ${\displaystyle D_{x}(F_{1},\ldots ,F_{m})}$).

Exemple Si ${\displaystyle Z}$ est une hypersurface définie par un polynôme non nul ${\displaystyle F(T_{1},\ldots ,T_{n})}$. Alors ${\displaystyle Z}$ est régulière en un point rationnel ${\displaystyle x}$ si et seulement si la matrice jacobienne en ${\displaystyle x}$ est de rang 1. Ce qui revient à dire qu'une des dérivées partielles de ${\displaystyle F}$ en ${\displaystyle x}$ est non nulle. Par conséquent, ${\displaystyle Z}$ est une variété algébrique lisse si et seulement si ${\displaystyle F}$ et ses dérivées partielles engendrent l'idéal unité dans ${\displaystyle k[T_{1},\ldots ,T_{n}]}$.