Un espace vectoriel normé ( X , ‖ . ‖ ) {\displaystyle (X,\Vert .\Vert )} est dit lisse si, pour tout u ∈ X ∖ { 0 } {\displaystyle u\in X\setminus \{0\}} et tout v ∈ X {\displaystyle v\in X} , la fonction réelle d'une variable réelle
t ↦ ‖ u + t v ‖ {\displaystyle t\mapsto \Vert u+tv\Vert }
est dérivable en 0.
Soit ( H , ‖ . ‖ ) {\displaystyle (H,\Vert .\Vert )} un espace préhilbertien (réel, par exemple) avec ‖ . ‖ = ( . | . ) {\displaystyle \Vert .\Vert ={\sqrt {(.|.)}}} .
Pour tout u ∈ H ∖ { 0 } {\displaystyle u\in H\setminus \{0\}} , tout v ∈ H {\displaystyle v\in H} et tout ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} on a
‖ u + ε v ‖ − ‖ u ‖ ε = ‖ u + ε v ‖ 2 − ‖ u ‖ 2 ε ( ‖ u + ε v ‖ + ‖ u ‖ ) = ε 2 ‖ v ‖ 2 + 2 ε ( u | v ) ε ( ‖ u + ε v ‖ + ‖ u ‖ ) = ε ‖ v ‖ 2 + 2 ( u | v ) ‖ u + ε v ‖ + ‖ u ‖ {\displaystyle {\frac {\Vert u+\varepsilon v\Vert -\Vert u\Vert }{\varepsilon }}={\frac {\Vert u+\varepsilon v\Vert ^{2}-\Vert u\Vert ^{2}}{\varepsilon (\Vert u+\varepsilon v\Vert +\Vert u\Vert )}}={\frac {\varepsilon ^{2}\Vert v\Vert ^{2}+2\varepsilon (u|v)}{\varepsilon (\Vert u+\varepsilon v\Vert +\Vert u\Vert )}}={\frac {\varepsilon \Vert v\Vert ^{2}+2(u|v)}{\Vert u+\varepsilon v\Vert +\Vert u\Vert }}}
où l'on a utilisé les propriétés de bases d'un produit scalaire.
On a alors
lim ε → 0 ‖ u + ε v ‖ − ‖ u ‖ ε = ( u | v ) ‖ u ‖ ∈ R {\displaystyle \lim _{\varepsilon \rightarrow 0}{\frac {\Vert u+\varepsilon v\Vert -\Vert u\Vert }{\varepsilon }}={\frac {(u|v)}{\Vert u\Vert }}\in \mathbb {R} }
Dérivée de Gateaux
un espace préhilbertien (réel, par exemple) avec 
.
, tout 
et tout 
on a 
