Espace de Taub-NUT

On peut adapter cet espace, en introduisant de manière triviale le temps, ce qui en fait une solution statique à 5 dimensions des équations de la relativité sans sources. Dans le sens d'un espace de Kaluza-Klein, on obtient ainsi la description d'un monopôle de rapport charge/masse ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ dans les unités de Planck.

En réduisant les équations d'Einstein (quadridimensionnelles) à la théorie de Kaluza-Klein (tridimensionnelle), on remarque qu'une quantité, dérivant d'un potentiel, est conservée : la charge NUT. On peut en donner une expression :

${\displaystyle {\mathcal {N}}=-{\frac {1}{8\pi }}\int F_{\theta ,\varphi }\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi }$

avec

${\displaystyle F_{i,j}=\partial _{i}\omega _{j}-\partial _{i}\omega _{i}}$.

En notant χ le potentiel NUT, on a :

${\displaystyle {\mathcal {N}}={\frac {1}{8\pi }}\int {\sqrt {h}}f^{-2}\partial _{r}\chi \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi }$.

Il est courant de faire l'analogie formelle entre la charge NUT et la charge magnétique.

Un exemple de particularités de ces espaces est qu'il est possible de former des trous noirs sous forme d'anneaux en 5 dimensions, qui se réduisent à des trous noirs en 4 dimensions.