Enveloppe de Karoubi

Soit une catégorie C, alors un idempotent de C est un endomorphisme :

${\displaystyle e:A\rightarrow A\,}$

qui vérifie e² = e. Son enveloppe de Karoubi, parfois notée Split(C), est une catégorie contenant les paires de la forme (A, e) avec e : A → A un idempotent de C, et des triplets de morphismes de la forme :

${\displaystyle (e,f,e^{\prime }):(A,e)\rightarrow (A^{\prime },e^{\prime })\,}$

avec f : A → A’ un morphisme de C qui vérifie ${\displaystyle \scriptstyle e^{\prime }\circ f=f=f\circ e}$ ou, de manière équivalente, ${\displaystyle \scriptstyle f=e'\circ f\circ e}$.

La composition dans Split(C) se fait comme dans C, mais le morphisme identité de ${\displaystyle (A,e)}$ sur Split(C) est (e,e,e), au lieu de l'identité de A.

La catégorie C est incluse dans Split(C). De plus, dans Split(C), tout idempotent est scindé : pour tout idempotent f : (A,e) → (A,e), il existe une paire (g : (A,e) → (A’’,e’’), h : (A’’,e’’) → (A,e)) telle que :

${\displaystyle f=h\circ g\,}$ et ${\displaystyle g\circ h=1\,}$.

L'enveloppe de Karoubi d'une catégorie C peut ainsi être considérée comme la « complétion » de C, qui scinde les idempotents.

L'enveloppe de Karoubi d'une catégorie C peut de façon équivalente être définie comme la sous-catégorie pleine de ${\displaystyle {\hat {\mathbf {C} }}}$ (les préfaisceaux sur C) des rétractée des foncteurs représentables.

Un automorphisme de Split(C) est de la forme (e, f, e) : (A, e) → (A, e), d'inverse (e, g, e) : (A, e) → (A, e) qui vérifie :

${\displaystyle g\circ f=e=f\circ g\,}$ ;

${\displaystyle g\circ f\circ g=g\,}$ ;

${\displaystyle f\circ g\circ f=f\,}$ ;

Si on se contente, au lieu de la première équation, de la relation ${\displaystyle \scriptstyle g\circ f=f\circ g}$, alors f est un automorphisme partiel, d'inverse g. Une involution (partielle) de Split(C) est un automorphisme (partiel) auto-inverse.

Si C est muni du produit, alors un isomorphisme f : A → B étant donné, l'application f × f ^-1 : A × B → B × A, composée avec son application canoniquement symétrique γ : B × A → A × B, est une involution partielle.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Karoubi envelope » (voir la liste des auteurs).