Duopole de Bertrand

Soient deux firmes vendant un même bien homogène, et ayant la même fonction de coût linéaire avec coût marginal constant égal à ${\displaystyle c}$. La fonction de demande de marché est donnée par ${\displaystyle D(p)}$. On suppose :

1. que les consommateurs achètent toujours au vendeur le moins cher (homogénéité du bien),
2. que les deux firmes se partagent la demande équitablement en cas d'égalité entre les deux prix.

Ces deux hypothèses impliquent que l'élasticité de la demande au point ${\displaystyle p_{1}=p_{2}}$ est infinie.

La demande individuelle de la firme ${\displaystyle i}$ (${\displaystyle i\in \{1,2\}}$) est donc donnée par :

${\displaystyle D_{i}(p_{1},p_{2})={\begin{cases}D(p_{i})&{\text{si }}p_{i}<p_{j}\\{\frac {D(p)}{2}}&{\text{si }}p_{i}=p_{j}=p\\0&{\text{si }}p_{i}>p_{j}\end{cases}}}$

Le jeu de Bertrand se définit formellement comme suit :

• Joueurs : les deux firmes (${\displaystyle 1}$ et ${\displaystyle 2}$)
• Actions : chaque firme choisit son prix (${\displaystyle p_{1}}$ et ${\displaystyle p_{2}}$), les choix étant simultanés
• Paiements : profits${\displaystyle \pi _{i}(p_{1},p_{2})=(p_{i}-c)D_{i}(p_{1},p_{2})}$

Un équilibre de Nash de ce jeu (équilibre de Bertrand) est un couple ${\displaystyle (p_{1}^{b},p_{2}^{b})}$ tel que :

${\displaystyle {\begin{cases}p_{1}^{b}=\mathrm {arg} {\underset {p_{1}}{\max }}\ \pi _{1}(p_{1},p_{2}^{b})\\p_{2}^{b}=\mathrm {arg} {\underset {p_{2}}{\max }}\ \pi _{2}(p_{1}^{b},p_{2})\end{cases}}}$

Chaque joueur joue sa meilleure réponse à la stratégie d'équilibre de l'autre joueur.

• En supposant que ${\displaystyle p_{1}^{b}=p_{2}^{b}=p<c}$.Chaque firme réalise donc un profit ${\displaystyle (p-c)D(p)/2<0}$. Or, chaque firme (par exemple la firme ${\displaystyle 1}$) pourrait s'assurer ${\displaystyle 0}$ en choisissant un prix égal à ${\displaystyle c}$. Donc ${\displaystyle (p_{1}^{b},p_{2}^{b})}$ ne peut être un équilibre.
• En supposant que ${\displaystyle p_{1}^{b}<\min(c,p_{2}^{b})}$.La firme ${\displaystyle 1}$ réalise un profit de ${\displaystyle (p_{1}^{b}-c)D(p_{1}^{b})<0}$. Là encore, elle pourrait accroître strictement son profit en choisissant ${\displaystyle p_{1}^{b}=c}$, ce qui lui donnerait ${\displaystyle 0}$. Donc ${\displaystyle (p_{1}^{b},p_{2}^{b})}$ ne peut être un équilibre.
• En supposant que ${\displaystyle c<p_{1}^{b}=p_{2}^{b}=p}$.

Chaque firme réalise donc un profit ${\displaystyle (p-c){\frac {D(p)}{2}}}$. Or, en choisissant un prix légèrement inférieur ${\displaystyle p-\varepsilon }$, une firme obtiendrait ${\displaystyle (p-\varepsilon -c)D(p-\varepsilon )}$. Il est clair que si ${\displaystyle \varepsilon }$ est suffisamment petit, cette déviation est strictement profitable (la baisse de prix est minime, mais la demande double car la totalité de la demande est attirée au lieu de la moitié). Donc ${\displaystyle (p_{1}^{b},p_{2}^{b})}$ ne peut être un équilibre.

• Enfin, en supposant que ${\displaystyle c<p_{1}^{b}<p_{2}^{b}}$.La firme ${\displaystyle 2}$ obtien un profit de ${\displaystyle 0}$. Elle peut accroître son profit en choisissant ${\displaystyle p_{2}=p_{1}^{b}-\varepsilon }$. Son profit est alors ${\displaystyle (p_{1}^{b}-\varepsilon -c)D(p_{1}^{b}-\varepsilon )}$, qui est strictement positif pour ${\displaystyle \varepsilon \in ]0,p_{1}^{b}-c[}$. Donc ${\displaystyle (p_{1}^{b},p_{2}^{b})}$ ne peut être un équilibre.
• Il ne reste donc qu'une seule possibilité : ${\displaystyle p_{1}^{b}=p_{2}^{b}=c}$. C'est le seul équilibre de Nash, puisque :
  • Si ${\displaystyle p_{1}^{b}=p_{2}^{b}=c}$, chaque firme a un profit de ${\displaystyle (p_{i}^{b}-c){\frac {D(p_{i}^{b})}{2}}=0}$.
  • Si une firme dévie et fixe un prix strictement inférieur à ${\displaystyle c}$, elle attire toute la demande mais vend à pertes.
  • Si une firme dévie et fixe un prix strictement supérieur à ${\displaystyle c}$, elle n'est pas compétitive par rapport à l'autre, et ne peut donc pas vendre. Son profit est alors de ${\displaystyle 0}$.
  • Aucune déviation n'est donc strictement profitable.

Ainsi, ${\displaystyle p_{1}^{b}=p_{2}^{b}=c}$ est le seul équilibre de Nash

L'équilibre du modèle de Bertrand est tel que les deux firmes proposent le même prix — égal à leur coût unitaire (Bertrand suppose, comme Cournot, que celui-ci est constant). Il y a équilibre car dans une telle situation aucune des entreprises ne regrette d'avoir proposé pour prix le coût unitaire, après avoir constaté que l'autre en a fait autant. Si elle avait proposé un prix inférieur, elle aurait fait des pertes, et si elle avait proposé un prix supérieur, toute la demande se serait reportée sur l'autre entreprise.