Domaine d'holomorphie

En mathématiques et plus précisément en analyse complexe à plusieurs variables, on dit qu'un domaine $D\subset \mathbb {C} ^{n}$ (i.e. un ouvert connexe), est un domaine d'holomorphie s'il existe une fonction $f$ analytique dans $D$ et non prolongeable ailleurs.

Dans le cas particulier des domaines plans, cette propriété est triviale[1]. Mais ce n'est plus vrai dans le cas général comme l'explicite le théorème de Hartogs : il suffit par exemple de considérer $D=\mathbb {C} ^{n}\backslash \{0\}$ dans lequel toute fonction analytique se prolonge nécessairement à l'espace $\mathbb {C} ^{n}$ tout entier.

Un domaine $D$ qui n'est pas un domaine d'holomorphie admet une extension holomorphe $G$ . Si de plus $f$ est holomorphe dans $D$ , alors son prolongement à $G$ ne peut prendre que des valeurs déjà prises sur $D$ [1].

Généralités

Domaine d'holomorphie[2]

Un ouvert $D$ connexe de $\mathbb {C} ^{n}$ est un domaine d'holomorphie s'il n'existe aucun couple d'ouverts $(D_{1},D_{2})$ vérifiant les propriétés suivantes :

$\emptyset \neq D_{1}\subset D_{2}\cap D$ ,
$D_{2}$ est connexe et n'est pas contenu dans $D$ ,
Pour toute fonction $f$ holomorphe dans $D$ , il existe une fonction $f_{2}$ holomorphe dans $D_{2}$ (pas nécessairement unique) telle que $f=f_{2}$ sur $D_{1}$ .

Un polydisque ou plus généralement un produit de domaines plans est un domaine d'holomorphie.

Théorème

Soit $\{D_{i}\}_{i}$ une famille de domaines d'holomorphie et $G$ leur intersection. Alors toute composante connexe de l'intérieur ${\overset {\circ }{G}}$ est un domaine d'holomorphie[1].

Domaines holomorphiquement convexes

Enveloppe d'holomorphie

L'enveloppe holomorphiquement convexe d'un ensemble $M$ d'un domaine $D\subset \mathbb {C} ^{n}$ (i.e un ouvert connexe), ou plus généralement d'une variété complexe $D$ est par définition :

${\hat {M}}_{{\mathcal {O}}(D)}=\{z\in D:|f(z)|\leq \sup _{M}|f|;\;\forall f\in {\mathcal {O}}(D)\}.$

Propriétés

Soit $K\Subset D$ un compact. On a les propriétés suivantes[3] :

Propriété 1

${\hat {K}}_{{\mathcal {O}}(D)}$ est un fermé de $D$ contenant $K$ . De plus,

$\sup _{\hat {K}}|f|=\sup _{K}|f|;\;\;\forall f\in {\mathcal {O}}(D)$ .

C'est-à-dire,

${\hat {\hat {K}}}_{{\mathcal {O}}(D)}={\hat {K}}_{{\mathcal {O}}(D)}$ .

Propriété 2

Si $\varphi :D\rightarrow D'$ est une application holomorphe entre deux domaines et $K\Subset D$ une partie compacte alors :

$\varphi \left({\hat {K}}_{{\mathcal {O}}(D)}\right)\subset {\hat {\varphi \left(K\right)}}_{{\mathcal {O}}(D)}$ .

En particulier,

$D\subset D'\Longrightarrow {\hat {K}}_{{\mathcal {O}}(D)}\subset {\hat {K}}_{{\mathcal {O}}(D')}\cap D$ .

Propriété 3

${\hat {K}}_{{\mathcal {O}}(D)}$ est la réunion de $K$ et des composantes connexes de $D\backslash K$ relativement compactes. Ceci découle principalement du principe du maximum.

D'autres classes de fonctions

Il peut s'avérer utile[1] d'étudier l'enveloppe $F$ -convexe d'un compact $K\Subset D$ relativement à une sous-classe $F\subset {\mathcal {O}}(D)$ de fonctions holomorphes. On la note alors ${\hat {K}}_{F}$ .

Par exemple si $F$ désigne l'ensemble des fonctions linéaires, on retrouve l'enveloppe convexe au sens géométrique.

Si $F={\mathcal {O}}(\mathbb {C} ^{n})$ , on appelle ${\hat {K}}_{{\mathcal {O}}(\mathbb {C} ^{n})}$ l'enveloppe polynomiale convexe. On peut également définir l'enveloppe rationnelle convexe de la même manière.

Propriété

Si $F\subset F'\subset {\mathcal {O}}(D)$ alors ${\hat {K}}_{F'}\subset {\hat {K}}_{F}$ .

Sans précision, on considère l'enveloppe holomorphiquement convexe par rapport au domaine.

Caractérisation

Domaine holomorphiquement convexe[1]

On dit qu'un domaine $D$ est holomorphiquement convexe si : $K\Subset D\Longrightarrow {\hat {K}}_{{\mathcal {O}}(D)}\Subset D$ .

Remarque[3]

Un domaine $D$ est holomorphiquement convexe si et seulement s'il existe une suite $\{K_{n}\}_{n}$ de compacts dans $D$ tels que[3] :

$D=\bigcup _{n}K_{n}$ ,
${\hat {K_{n}}}=K_{n}$ pour tout n,
$K_{n-1}\subset {\overset {\circ }{K_{n}}}$

Propriété[3]

Si $D$ est un domaine d'holomorphie et $K\Subset D$ alors :

$dist(K,\partial D)=dist({\hat {K}},\partial D)$ .

Théorème[3]

Un domaine est un domaine d'holomorphie si et seulement s'il est holomorphiquement convexe.

Comme application[2], tout domaine géométriquement convexe est un domaine d'holomorphie. Un domaine de Reinhardt est un domaine d'holomorphie si et seulement s'il est domaine de convergence d'une série entière[2].

Références

Boris Chabat, Introduction à l'analyse complexe - Tome 1 : Fonctions d'une variable, Mir, 1990 (ISBN 978-5-03-001627-6)
(en) Lars Hörmander, An introduction to Complex Analysis in several variables, Amsterdam/New York, Van Nostrand, 1973, 2^e éd., 213 p. (ISBN 978-0-444-10523-3, lire en ligne)
(en) Jean-Pierre Demailly, Complex Analytic and Differential Geometry (lire en ligne)