Dipôle magnétique d'une sphère
Soit une sphère, de centre O, de rayon R, parcourue par un courant de surface
, de moment magnétique
, avec V volume de la boule.
Plus précisément :
![{\displaystyle {\vec {m}}={\frac {1}{2}}\int \mathrm {d} ^{2}r[{\vec {r}}\wedge {\vec {j_{s}}}({\vec {r}})]=j_{0}V{\vec {u_{z}}}}](https://img.franco.wiki/i/820014c470918430bcadef9cf3cf6b17877d5874.svg)
Champ magnétique extérieur
Si r >> R, il est clair que B(M) est celui créé par m.
Très étonnant : c'est vrai pour tout r > R !
Soit :

qu'on peut écrire :

Champ magnétique intérieur
Bien sûr, la distribution de courant fait penser à celle d'un solénoïde. En effet, le courant s'annule juste sur les bords, de manière que le champ à l'intérieur soit uniforme :
par continuité de la composante normale de B.

Démonstration
La distribution de courant est à support compact : la solution existe et est unique. Il suffit donc de vérifier que la solution donnée satisfait bien à div B = 0 , rot B = 0 et aux conditions aux limites à l'infini (vrai) et sur la sphère, on a :
.
ou encore :
![{\displaystyle [B_{ext}-B_{int}]=\mu _{0}{\vec {j_{S}}}\wedge {\vec {u_{r}}}}](https://img.franco.wiki/i/1d15b32f9176952ed3b91523cf1837ef2a95183f.svg)
On pourra vérifier que la circulation sur une ligne de champ fermée quelconque satisfait bien le théorème d'Ampère.
Conclusion
Si R devient minuscule, et
très grand, m joue le rôle d'une singularité en O, mais B n'y est pas infini, et son intégrale sur la boule vaut (
) : on prend l'habitude de dire qu'un moment dipolaire par unité de volume
(en A/m) crée donc le champ d'un dipôle 
On comparera avec le dipôle électrostatique d'une boule.
Notes et références
Annexes
Articles connexes
Cet article est issu de
wikipedia. Text licence:
CC BY-SA 4.0, Des conditions supplémentaires peuvent s’appliquer aux fichiers multimédias.