Différente

En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des nombres pour mesurer l'éventuel défaut de dualité d'une application définie à l'aide de la trace, dans l'anneau des entiers d'un corps de nombres K.

Si O_K est l'anneau des entiers de K et tr désigne la trace du corps de K vers le corps ℚ des nombres rationnels, alors x ↦ tr(x²) est une forme quadratique entière sur O_K. Son discriminant comme forme quadratique n'est pas forcément +1 (en fait ceci arrive seulement pour le cas K = ℚ). En définissant l'idéal fractionnaire I de K comme l'ensemble des ${\displaystyle x\in K}$ tels que tr(xy) est un entier pour tout y dans O_K, alors I contient O_K. Par définition, l'idéal différent ${\displaystyle \delta _{K}}$ est ${\displaystyle I^{-1}}$, un idéal de O_K.

La norme de ${\displaystyle \delta _{K}}$ est l'idéal de ℤ engendré par le discriminant ${\displaystyle D_{K}}$ de K. La différente peut aussi être définie pour une extension de corps de nombres L/K (la différente relative) et pour les corps locaux. Elle joue un rôle dans la dualité de Pontryagin pour les corps p-adiques.

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