Demi-groupe 3x+1

Le demi-groupe 3x + 1 est le demi-groupe multiplicatif de nombres rationnels positifs engendré par les nombres rationnels

${\displaystyle 2,1/2,3/5,5/8,7/11,\ldots }$

qui sont, en plus de l’entier 2, les nombres de la forme

${\displaystyle {\frac {2k+1}{3k+2}}\quad }$ pour ${\displaystyle \quad k\geq 0}$.

Ce demi-groupe est relié à la fonction ${\displaystyle T:\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }$ des entiers relatifs définie par

${\displaystyle T(n)={\begin{cases}n/2&{\text{si }}n{\text{ est pair}}\\(3n+1)/2&{\text{sinon. }}\end{cases}}}$

La conjecture de Syracuse affirme que, pour chaque entier positif n, une certaine itérée de la fonction T envoie n sur 1 ou, en d'autre termes, que T^(k)(n) = 1 pour un certain entier k. Par exemple, si n = 7, alors les valeurs de T^(k)(n) pour k = 1, 2, 3, . . . sont 11, 17, 26, 13, 20, 10, 5, 8, 4, 2, 1 et T⁽¹¹⁾(7) = 1.

Le demi-groupe 3x + 1 est relié à la conjecture de Collatz par le fait qu'il est engendré par les fractions

${\displaystyle {\dfrac {n}{T(n)}}}$

pour ${\displaystyle n>0}$, puisque ${\displaystyle T(2k+1)=3k+2}$ et ${\displaystyle T(2k)=k}$.

Notons S le demi-groupe 3x + 1. La conjecture de Collatz faible, énoncée par Farkas, affirme que le demi-groupe S contient tous les entiers positif. Le demi-groupe S a la propriété que si T(n) est dans S, alors n est dans S, parce que chaque n/T(n) est un générateur de S. Il en résulte que si un itéré de T(n) est égal à 1, alors n est dans S. Ainsi, la conjecture de Syracuse implique la conjecture faible. La conjecture faible a été démontrée par Applegate et Lagarias[1]. Elle est une conséquence de la propriété suivante du demi-groupe S : Le demi-groupe S est constitué de l'ensemble des nombres rationnels positifs a/b, avec a et b premiers entre eux, tels que b ≠ 0 (mod 3). En particulier, ce demi-groupe contient tous les entiers positifs.

Le demi-groupe engendré par l’ensemble des fractions T(n)/n ou, de manière équivalente, par 1/2 et les nombres

${\displaystyle {\frac {3k+2}{2k+1}}\quad }$ pour ${\displaystyle \quad k\geq 0}$

est appelé le demi-groupe sauvage (« wild semigroup » en anglais). Par le théorème d'Applegate et Lagarias, il est formé des entiers m tels que m ≠ 0 (mod 3). C'était la « Wild Numbers Conjecture »[4], maintenant démontrée.