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Développement de Kramers-Moyal

Dans les problèmes où une variable α est décrite par un processus stochastique on est amené à calculer l'état à l'instant t+Δt de la densité de probabilité p(α,t) de cette variable à partir de l'état à l'instant t par une équation intégro-différentielle. Le développement de Kramers-Moyal est le développement de Taylor qui permet de passer de cette équation en une équation aux dérivées partielles lorsque la valeur de Δt est faible devant la durée de corrélation du processus[1] - [2]. Elle est due à Hendrik Anthony Kramers (1940)[3] et José Enrique Moyal (1949)[4].

où les coefficients du développement sont les moments de Δα :

Si on limite la série à n=2 on obtient l'équation de Fokker-Planck :

Références

  1. N. Pottier, Physique statistique hors d'équilibre : processus irréversibles linéaires, EDP Sciences/CNRS Éditions, , 524 p. (ISBN 978-2-86883-934-3)
  2. (en) Wolfgang Paul et Jörg Baschnagel, Stochastic Processes : From Physics to Finance, Springer, , 280 p. (ISBN 978-3-319-00327-6 et 3-319-00327-5, lire en ligne)
  3. (en) H. A. Kramers, « Brownian Motion in a Field of Force and the Diffusion Model of Chemical Reactions », Physica, vol. 7,‎ , p. 284
  4. (en) J. E. Moyal, « Stochastic Processes and Statistical Physics », Journal of the Royal Statistical Society, b, vol. 11, no 2,‎ , p. 150-210 (lire en ligne)
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