Déterminant par blocs

Si ${\displaystyle A}$ est une matrice carrée de taille ${\displaystyle n}$, on forme un procédé d'extraction de ${\displaystyle k\leq n}$ colonnes, noté ${\displaystyle \varphi }$, c'est-à-dire une application strictement croissante de ${\displaystyle [\![1,k]\!]}$ dans ${\displaystyle [\![1,n]\!]}$, et un procédé d'extraction de ${\displaystyle k\leq n}$ lignes, noté ${\displaystyle \varphi '}$.

On note ${\displaystyle D_{\varphi ,\varphi '}}$ le déterminant de la matrice extraite de ${\displaystyle A}$ en conservant (dans l'ordre) les colonnes d'indices ${\displaystyle \varphi ([\![1,k]\!])}$ et les lignes d'indices ${\displaystyle \varphi '([\![1,k]\!])}$.

On note ${\displaystyle D'_{\varphi ,\varphi '}}$ le déterminant de la matrice extraite de ${\displaystyle A}$ en conservant (dans l'ordre) les colonnes d'indices qui ne sont pas dans ${\displaystyle \varphi ([\![1,k]\!])}$ et les lignes d'indices qui ne sont pas dans ${\displaystyle \varphi '([\![1,k]\!])}$.

On note ${\displaystyle \Phi }$ l'ensemble des applications strictement croissantes de ${\displaystyle [\![1,k]\!]}$ dans ${\displaystyle [\![1,n]\!]}$ et l'on fixe ${\displaystyle \varphi \in \Phi }$.

On note ${\displaystyle \varepsilon (\varphi )}$ la signature de ${\displaystyle \varphi }$, définie comme la signature de l'unique permutation de ${\displaystyle [\![1,n]\!]}$ prolongeant de ${\displaystyle \varphi }$ et dont la restriction à ${\displaystyle [\![k+1,n]\!]}$ est également croissante.

On obtient alors ${\displaystyle \det A=\varepsilon (\varphi )\sum _{\varphi '\in \Phi }\varepsilon (\varphi ')D_{\varphi ,\varphi '}D'_{\varphi ,\varphi '}}$.

Si ${\displaystyle n=4}$ et ${\displaystyle k=2}$, cette formule donne un déterminant 4×4 comme la somme de 6 produits de déterminants 2×2. En notant, comme pour les coordonnées plückeriennes ou grassmanniennes,

• ${\displaystyle p_{i,j}}$ le déterminant des lignes ${\displaystyle i,j}$ des deux premières colonnes et
• ${\displaystyle q_{i,j}}$ le déterminant des lignes ${\displaystyle i,j}$ des deux dernières colonnes,

on obtient par exemple :

${\displaystyle \det A=p_{1,2}q_{3,4}+p_{1,3}q_{4,2}+p_{1,4}q_{2,3}+q_{1,2}p_{3,4}+q_{1,3}p_{4,2}+q_{1,4}p_{2,3}}$.