Déterminant de Cauchy

1. Multiplier toutes les colonnes par ${\displaystyle a_{n}+b_{j}}$.
2. Soustraire la dernière colonne à toutes les autres.
3. Factoriser par les termes communs aux lignes et aux colonnes et développer par rapport à la dernière ligne.

On trouve alors la relation de récurrence

${\displaystyle D_{n}={\frac {1}{a_{n}+b_{n}}}{\Bigg (}\prod \limits _{i=1}^{n-1}{\frac {(a_{n}-a_{i})(b_{n}-b_{i})}{(a_{n}+b_{i})(a_{i}+b_{n})}}{\Bigg )}D_{n-1}}$

On en déduit l'expression générale de ${\displaystyle D_{n}}$.

Stratégie: (valable de manière générale pour le calcul de déterminants «compliqués»)

1. Raisonner par récurrence sur la taille du déterminant.
2. Faire des opérations élémentaires sur les lignes/colonnes pour faire apparaître une ligne/colonne composée de ${\displaystyle 1}$.
3. Soustraire les lignes/colonnes de manière à obtenir une ligne/colonne presque composée uniquement de ${\displaystyle 0}$ sauf pour un seul coefficient.
4. Développer par rapport à cette dernière et obtenir une relation de récurrence sur le déterminant.

On raisonne par récurrence sur la taille du déterminant ${\displaystyle n}$.

Premièrement, faisons apparaître une ligne de ${\displaystyle 1}$ en multipliant toutes les colonnes par ${\displaystyle a_{n}+b_{j}}$.

Par ${\displaystyle n}$-linéarité du déterminant,

${\displaystyle D_{n}={\frac {1}{\prod \limits _{i=1}^{n}(a_{n}+b_{i})}}{\begin{vmatrix}{\frac {a_{n}+b_{1}}{a_{1}+b_{1}}}&{\frac {a_{n}+b_{2}}{a_{1}+b_{2}}}&\cdots &{\frac {a_{n}+b_{n}}{a_{1}+b_{n}}}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\{\frac {a_{n}+b_{1}}{a_{n-1}+b_{1}}}&{\frac {a_{n}+b_{2}}{a_{n-1}+b_{2}}}&\cdots &{\frac {a_{n}+b_{n}}{a_{n-1}+b_{n}}}\\1&1&\cdots &1\end{vmatrix}}.}$

Ensuite, pour faire apparaître des ${\displaystyle 0}$ à la fin des ${\displaystyle (n-1)}$ premières colonnes, soustrayons la dernière colonne à toutes les autres.

${\displaystyle \forall (i,j)\in \{1,\dots ,n-1\}^{2},\quad {\frac {a_{n}+b_{j}}{a_{i}+b_{j}}}-{\frac {a_{n}+b_{n}}{a_{i}+b_{n}}}={\frac {a_{n}b_{n}-a_{i}b_{n}-a_{n}b_{j}+a_{i}b_{j}}{(a_{i}+b_{j})(a_{i}+b_{n})}}={\frac {(a_{n}-a_{i})(b_{n}-b_{j})}{(a_{i}+b_{j})(a_{i}+b_{n})}}}$

${\displaystyle D_{n}={\frac {1}{\prod \limits _{i=1}^{n}(a_{n}+b_{i})}}{\begin{vmatrix}{\frac {(a_{n}-a_{1})(b_{n}-b_{1})}{(a_{1}+b_{1})(a_{1}+b_{n})}}&{\frac {(a_{n}-a_{1})(b_{n}-b_{1})}{(a_{1}+b_{2})(a_{1}+b_{n})}}&\cdots &{\frac {(a_{n}-a_{1})(b_{n}-b_{n-1})}{(a_{1}+b_{n-1})(a_{1}+b_{n})}}&{\frac {a_{n}+b_{n}}{a_{1}+b_{n}}}\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\{\frac {(a_{n}-a_{n-1})(b_{n}-b_{1})}{(a_{n-1}+b_{1})(a_{n-1}+b_{n})}}&{\frac {(a_{n}-a_{n-1})(b_{n}-b_{1})}{(a_{n-1}+b_{2})(a_{n-1}+b_{n})}}&\cdots &{\frac {(a_{n}-a_{n-1})(b_{n}-b_{n-1})}{(a_{n-1}+b_{n-1})(a_{n-1}+b_{n})}}&{\frac {a_{n}+b_{n}}{a_{n-1}+b_{n}}}\\0&0&\cdots &0&1\end{vmatrix}}.}$

Factorisons par les termes communs aux lignes et aux colonnes.

${\displaystyle D_{n}={\frac {\prod \limits _{i=1}^{n-1}(a_{n}-a_{i})\prod \limits _{i=1}^{n-1}(b_{n}-b_{i})}{\prod \limits _{i=1}^{n}(a_{n}+b_{i})\prod \limits _{i=1}^{n-1}(a_{i}+b_{n})}}{\begin{vmatrix}{\frac {1}{a_{1}+b_{1}}}&{\frac {1}{a_{1}+b_{2}}}&\cdots &{\frac {1}{a_{1}+b_{n-1}}}&\bigstar \\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\{\frac {1}{a_{n-1}+b_{1}}}&{\frac {1}{a_{n-1}+b_{2}}}&\cdots &{\frac {1}{a_{n-1}+b_{n-1}}}&\bigstar \\0&0&\cdots &0&1\end{vmatrix}}.}$

Finalement, en développant par rapport à la dernière ligne on trouve la relation de récurrence: ${\displaystyle D_{n}={\frac {1}{a_{n}+b_{n}}}{\Bigg (}\prod \limits _{i=1}^{n-1}{\frac {(a_{n}-a_{i})(b_{n}-b_{i})}{(a_{n}+b_{i})(a_{i}+b_{n})}}{\Bigg )}D_{n-1}}$

Comme ${\displaystyle D_{1}={\frac {1}{a_{1}+b_{1}}}}$, on obtient par récurrence ${\displaystyle D_{n}={\frac {\prod \limits _{i<j}(a_{j}-a_{i})\prod \limits _{i<j}(b_{j}-b_{i})}{\prod \limits _{i,j}(a_{i}+b_{j})}}}$.