Décharge d'un condensateur

Décharge d'un condensateur dans une résistance

Considérons en ${\displaystyle t=0}$ un condensateur qui a préalablement été chargé et dont la tension électrique mesurée entre ses bornes est égale à ${\displaystyle E}$. La fermeture de l’interrupteur à cet instant précis permet alors l’écoulement à travers la résistance d’un courant visant à équilibrer progressivement les charges respectives des deux bornes du condensateur.

Si ${\displaystyle C}$ est la capacité et ${\displaystyle R}$ la résistance, les solutions de l’équation différentielle liant l’intensité du courant à la différence de potentiel ${\displaystyle U_{c}(t)}$ aux bornes du condensateur sont les suivantes :

• décharge (charge initiale du condensateur : ${\displaystyle U_{c}(0)=E}$) :

${\displaystyle U_{c}(t)=E\ e^{-{\frac {t}{\tau }}}\ }$

• charge (le condensateur étant initialement déchargé (${\displaystyle U_{c}(0)=0}$), on introduit en série une source de tension de valeur nominale ${\displaystyle E}$ — non représentée sur le schéma ci-dessus) :

${\displaystyle U_{c}(t)=E\ (1-e^{-{\frac {t}{\tau }}})\ }$

où ${\displaystyle \tau =R\,C}$ est la constante de temps du circuit[1].

Démonstration

Pour la décharge :

En appliquant la convention générateur pour le condensateur, sa loi de comportement lie l’intensité ${\displaystyle i(t)}$ à la dérivée de la différence de potentiel ${\displaystyle U_{c}(t)}$ et s’écrit :

${\displaystyle i(t)=-C\ {\dot {U}}_{c}(t)}$.

Par la loi d'Ohm :

${\displaystyle U_{c}(t)=R\ i(t),}$

puis, par substitution et élimination du courant, l'équation différentielle est la suivante :

${\displaystyle -\tau \ {\dot {U}}_{c}(t)=U_{c}(t)\ }$ où ${\displaystyle \tau =R\ C.}$

Sa solution est de la forme

${\displaystyle U_{c}(t)=K\ e^{-{\frac {t}{\tau }}}}$

où ${\displaystyle K}$ est une constante caractérisée par les conditions initiales ${\displaystyle U_{c}(0)=E}$ conduisant à ${\displaystyle K=E.\ }$

Courbe de décharge

Courbe de la décharge du condensateur dans la résistance

Comme le montre l'équation caractérisant ${\displaystyle U_{c}(t)\,}$, la décharge est une exponentielle décroissante.

Représentée sur des axes normalisés, cette courbe possède les caractéristiques suivantes :

• La tangente à l'origine de l'exponentielle coupe la valeur limite (ici ${\displaystyle U_{c}=0}$) en ${\displaystyle t=\tau \,}$,
• ${\displaystyle U_{c}(0.69\tau )=0.5\ E}$,
• ${\displaystyle U_{c}(\tau )=0.37\ E}$,
• ${\displaystyle U_{c}(3\tau )=0.05\ E}$,
• ${\displaystyle U_{c}(5\tau )=0.01\ E}$.

Le régime est généralement considéré comme étant permanent au-delà de ${\displaystyle t=5\tau \,}$.

On peut ainsi considérer deux phases chronologiques de la décharge :

• Régime transitoire : entre ${\displaystyle 0}$ et ${\displaystyle 5\tau }$,
• Régime permanent : au-delà de ${\displaystyle 5\tau }$.

La charge d'un condensateur à travers une résistance est beaucoup plus utilisée.

Exemple d'application : le capteur de niveau d'eau anti-remous.

Le capteur ouvre ou ferme un contact (photo-diode + photo-transistor) selon la présence ou absence d'eau à un certain niveau d'une cuve. Le problème qui se pose est de pouvoir éliminer le phénomène de « clignotement » du capteur dû aux remous de l'eau, qui peuvent générer des problèmes au niveau d'un automate.

La solution consiste à temporiser la sortie du capteur en intercalant un circuit RC entre le contact « photo-transistor » et la sortie.

Une telle solution peut être présentée comme ceci :

La sortie peut basculer après un temps prédéfini pour lequel le capteur voit de l'eau en permanence (donc pas de remous), donc à partir d'une tension « seuil » aux bornes du condensateur. En cas de remous, le contact s'ouvre, et donc le condensateur se décharge, on repart à zéro.

La présence de l'amplificateur opérationnel monté en trigger de Schmitt (ou comparateur à hystérésis) est destinée à empêcher le clignotement de la sortie dans le cas où la tension aux bornes du condensateur n'est pas purement exponentielle (des ondulations sur la courbe peuvent exister).

• Condensateur