Courbe de Lebesgue

Pour tout y élément de l'ensemble de Cantor, on a une décomposition en base 3 de la forme ${\displaystyle y=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {y_{k}}{3^{k}}}}$, où, pour tout k, ${\displaystyle y_{k}}$ est un chiffre valant 0 ou 2. On associe à ce réel y un point f(y) du plan de coordonnées ${\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {y_{2k-1}}{2^{k+1}}},\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {y_{2k}}{2^{k+1}}}\right)}$. On définit ainsi une fonction f de l'ensemble de Cantor dans le carré ${\displaystyle [0,1]\times [0,1]}$. On prolonge ensuite f à l'intervalle [0, 1] tout entier de façon que, sur chaque intervalle composante connexe du complémentaire dans [0, 1] de l'ensemble de Cantor, le prolongement soit une fonction affine. Le prolongement obtenu est alors une fonction continue et surjective[1] de [0, 1] sur ${\displaystyle [0,1]\times [0,1]}$. Elle est en outre presque partout dérivable.

La courbe de Lebesgue peut aussi être réalisée en trois dimensions. Il suffit pour cela de scinder les chiffres de y en trois sous-familles.

Si on se limite à un calcul numérique limité à n chiffres ${\displaystyle y_{k},1\leq k\leq n}$, l'approximation de la courbe de Lebesgue que l'on obtient peut se représenter dans un quadrillage de 4ⁿ carrés, chacun possédant un côté de même longueur ¹⁄_2ⁿ. La courbe approximée passe par les centres de tous les carrés. En passant à la limite, on obtient la courbe de Lebesgue.

La construction de la courbe approchée peut se faire récursivement comme suit :

• A l'étape 0, la courbe C(0) se limite à un seul point, disposé au centre d'un carré. Ce point est à la fois point initial et point final de C(0).
• Pour n strictement positif, on divise un carré en quatre sous-carrés qu'on numérote de 0 à 3 selon le schéma ci-dessous :

On dispose dans chaque carré un exemplaire de la courbe C(n-1) calculée au rang précédent, puis, pour i variant de 0 à 2, on relie par un segment le point final de la courbe C(n-1) disposé dans le carré i au point initial de la courbe C(n-1) disposé dans le carré i+1. Le point initial de la courbe C(n) ainsi obtenue est le point initial de la courbe C(n-1) du carré 0, et le point final de la courbe C(n) est le point final de la courbe C(n-1) du carré 3.

Il existe des variantes à la courbe de Lebesgue, notamment la courbe de Hilbert qui, elle, est une courbe à paramétrisation continue, contrairement à la courbe de Lebesgue qui supprime certaines discontinuités et les remplace par des fonctions affines.

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