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Courbe de Lebesgue

En mathématiques, et plus précisément en géométrie, la courbe de Lebesgue a été étudiée par le mathématicien français Henri Lebesgue en 1904. Elle consiste en une courbe continue, de l'intervalle [0, 1] dans le carré et qui remplit entièrement le carré. Elle constitue donc une courbe de remplissage.

Courbe de Lebesgue pour n = 2.
Courbe de Lebesgue pour n = 3.

Définition

Pour tout y élément de l'ensemble de Cantor, on a une décomposition en base 3 de la forme , où, pour tout k, est un chiffre valant 0 ou 2. On associe à ce réel y un point f(y) du plan de coordonnées . On définit ainsi une fonction f de l'ensemble de Cantor dans le carré . On prolonge ensuite f à l'intervalle [0, 1] tout entier de façon que, sur chaque intervalle composante connexe du complémentaire dans [0, 1] de l'ensemble de Cantor, le prolongement soit une fonction affine. Le prolongement obtenu est alors une fonction continue et surjective[1] de [0, 1] sur . Elle est en outre presque partout dérivable.

La courbe de Lebesgue peut aussi être réalisée en trois dimensions. Il suffit pour cela de scinder les chiffres de y en trois sous-familles.

Calcul approché

Si on se limite à un calcul numérique limité à n chiffres , l'approximation de la courbe de Lebesgue que l'on obtient peut se représenter dans un quadrillage de 4n carrés, chacun possédant un côté de même longueur 12n. La courbe approximée passe par les centres de tous les carrés. En passant à la limite, on obtient la courbe de Lebesgue.

La construction de la courbe approchée peut se faire récursivement comme suit :

  • A l'étape 0, la courbe C(0) se limite à un seul point, disposé au centre d'un carré. Ce point est à la fois point initial et point final de C(0).
  • Pour n strictement positif, on divise un carré en quatre sous-carrés qu'on numérote de 0 à 3 selon le schéma ci-dessous :
13
02

On dispose dans chaque carré un exemplaire de la courbe C(n-1) calculée au rang précédent, puis, pour i variant de 0 à 2, on relie par un segment le point final de la courbe C(n-1) disposé dans le carré i au point initial de la courbe C(n-1) disposé dans le carré i+1. Le point initial de la courbe C(n) ainsi obtenue est le point initial de la courbe C(n-1) du carré 0, et le point final de la courbe C(n) est le point final de la courbe C(n-1) du carré 3.

Variantes

Il existe des variantes à la courbe de Lebesgue, notamment la courbe de Hilbert qui, elle, est une courbe à paramétrisation continue, contrairement à la courbe de Lebesgue qui supprime certaines discontinuités et les remplace par des fonctions affines.

Lien externe

Courbe de Lebesgue sur Mathcurve.com

Notes et références

  1. (en) James Dugundji, Topology, Dubuque (Iowa), Wm. C. Brown Publisher, , 447 p. (ISBN 0-697-06889-7), p. 105
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